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在介绍模糊聚类之前，我们先简单地列举一下聚类算法的常见分类：

我们之前听说的大部分聚类算法均为硬聚类，即要求每个数据点只能属于一个特定的簇，scikit-learn 中有关于常见硬聚类算法的可视化展示，可供参考：

不同于硬聚类，软聚类放松了限制，即允许数据点可以同时属于多个簇。接下来要介绍的模糊聚类即为一种常见的软聚类算法。

模糊聚类通常用一个向量来表示一个数据点的归属，向量中哪个维度的数值更大，意味着该数据点距离该维度对应簇更近，也可以理解为是归属于该簇的概率越大。

以 Fuzzy c-means (FCM) 聚类算法为例，其过程与 k-means 非常相似：

簇中心 c k \boldsymbol{c}_k ck​ 计算式如下： c k = ∑ i = 1 N w i , k m x i ∑ i = 1 N w i , k m , \boldsymbol{c}_k=\frac{\sum_{i=1}^N w_{i,k}^m \boldsymbol{x}_i}{\sum_{i=1}^N w_{i,k}^m }, ck​=∑i=1N​wi,km​∑i=1N​wi,km​xi​​,

其中 m ∈ ( 1 , ∞ ) m\in (1,\infty) m∈(1,∞) 为超参，控制聚类的模糊程度，其数值越大，聚类结果越模糊，其数组越逼近 1 1 1， 其聚类效果越接近 k-means。

数据点 x i \boldsymbol{x}_i xi​ 的概率向量 w i \boldsymbol{w}_i wi​ 计算式如下： w i , k = 1 ∑ j = 1 C ( ∥ x i − c k ∥ ∥ x i − c j ∥ ) 2 m − 1 , w_{i,k}=\frac{1}{\sum_{j=1}^C \left(\frac{\left\|\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{c}_k\right\|}{\left\|\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{c}_j\right\|}\right)^{\frac{2}{m-1}}}, wi,k​=∑j=1C​(∥xi​−cj​∥∥xi​−ck​∥​)m−12​1​,

其满足 ∑ k = 1 C w i , k = 1 \sum_{k=1}^C w_{i,k}=1 ∑k=1C​wi,k​=1。FCM 整个聚类过程想要最小化的目标函数如下所示： J ( W , C ) = ∑ i = 1 N ∑ k = 1 C w i , k m ∥ x i − c k ∥ 2 . J(\boldsymbol{W}, \boldsymbol{C})=\sum_{i=1}^N \sum_{k=1}^C w_{i,k}^m\left\|\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{c}_k\right\|^2. J(W,C)=i=1∑N​k=1∑C​wi,km​∥xi​−ck​∥2.