华中师范大学 hahakity

最近量子计算炒的很火，作为物理专业的学生，学了量子力学却不懂量子计算太可惜。这一节使用 Python 编程，构造一个玩具版本的量子计算机，辅助大家对量子力学和量子计算的理解，从而快速使用量子计算做些有意思的工作。

量子计算像一本武林秘籍，这本秘籍的心法是量子力学的多世界诠释。

传统计算机使用比特 0 和 1 以及它们之间的逻辑操作 and，or，not，xor 等位运算构造加减乘除，并搭建整个经典计算机体系。

在量子计算机上，基本的存储单元是量子位，即 Qubit。只要搞明白了 Qubit，以及它们之间的逻辑操作，原则上就可以搭建量子计算机。所以本虚拟机仅实现这些基本功能。

Qubit 可以是任意两个本征态|0\rangle 和 |1 \rangle，或者是它们的线性叠加 |\Psi \rangle = \alpha |0 \rangle + \beta | 1 \rangle ，其中 \alpha, \beta 是复数。

用矩阵表示，一个 Qubit 有两个基向量，

|0\rangle = \begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix} , |1\rangle = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}

最简单可对应为自旋向上 \uparrow 与向下 \downarrow。与经典比特不同的是，一个量子比特可以是自旋 \uparrow 与 \downarrow 的叠加态，在一个世界里粒子自旋向上，另一个世界里自旋向下，就像薛定谔的猫态（既死又活态），

|\Psi \rangle = \alpha |0 \rangle + \beta | 1 \rangle = \alpha \begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix} + \beta \begin{bmatrix} 0\\ 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \end{bmatrix}

当然，波函数要满足幺正条件: \langle \Psi |\Psi \rangle = [\alpha^*, \beta^*] \begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \end{bmatrix} = |\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1 。

更多的比特可以通过直积 \otimes 生成，这个直积完成如下操作，

A \otimes B = \begin{bmatrix} A_{00} B & A_{01} B \\ A_{10}B & A_{11}B \end{bmatrix}

比如两量子比特，

|00\rangle = |0\rangle \otimes |0 \rangle = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}

|01\rangle = |0\rangle \otimes |1 \rangle = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}

|10\rangle = |1\rangle \otimes |0 \rangle = \begin{bmatrix} 0 \\ 1\end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}

|11\rangle = |1\rangle \otimes |1 \rangle = \begin{bmatrix} 0 \\ 1\end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}

两个 Qubit 生成了4个基向量，每个基向量只有一位为1，其余位为0，称为 one-hot 表示。

一个一般的两 Qubit 态可以展开为，

|\Psi\rangle =\alpha_0 |00\rangle +\alpha_1 |01\rangle + \alpha_2 |10\rangle + \alpha_3 |11\rangle

我们先用 Python 构造单个 Qubit，然后通过直积构造 n 个 Qubit 的 2^n 维基向量。

在 jupyter notebook 开头，导入库 numpy，scipy 以及输出数学公式的 Markdown库。

下面这段程序还定义了自旋向上，自旋向下态以及它们的集合 bit。

单个 Qubit 没什么可讲，我们来看一看两个或多个 Qubit 的基向量如何构造

下面定义一个函数，给定 Qubits 序列，返回它的 one hot 表示，

构造基向量 |10\rangle ，输入 basis('10').A1, 返回,

array([0, 0, 1, 0])

注意：直积操作 \otimes 用 scipy.linalg 中的 kron() 函数。

basis() 返回了 np.matrix 数据类型，它的 .A1 属性将矩阵转化为 1 维 numpy 数组。

两个Qubit，基向量是4维，3个Qubit是8维，10个Qubit基向量是1024维，在多体量子计算中，大家一般要计算超大矩阵的基态本征值，如果用 100 个 Qubit 进行 2^{100} 个态的多体量子系统计算，可远超经典计算机能够存储和处理的数据极限。自从费曼提出这个想法，大家就一直为量子计算机而疯魔。

这里我们随便试一下 20 个量子比特的基向量的维数，

输出为：1048576

即原则上 20 个 Qubit 可以