简介

旅行商问题（Traveling Salesman Problem, TSP）是组合优化中的经典问题。简单地说，一个旅行商需要访问N个城市，并返回到出发城市，问题是找到最短的可能路线，使得每个城市只被访问一次。由于TSP是一个NP-hard问题，找到其精确解决方案是非常计算密集型的，特别是对于大规模的城市集。因此，我们需要一种可以在合理的时间内得到近似解的方法。

模拟退火算法（Simulated Annealing, SA）是一个非常受欢迎的随机搜索技术，用于求解优化问题。模拟退火是受固体退火过程启发的一种算法，通过不断比较当前解和新解来找到问题的近似解。

在本文中，我们将介绍如何使用模拟退火算法解决TSP问题，并提供Python代码的实现。

模拟退火算法概述

模拟退火算法的基本思想是从一个随机解开始，然后在每一步尝试一个新解。如果新解比当前解好，我们接受它。如果新解不如当前解，我们以某个概率接受它，这个概率随着时间的推移而减小，模拟固体材料在冷却过程中的退火过程。

模拟退火的步骤如下：

Python实现

首先，我们需要定义一些辅助函数，如计算距离和总旅行距离。

其中，cities是一个列表，每个元素都是一个表示城市坐标的元组。tour是一个表示旅行顺序的整数列表。

例如，对于以下城市列表：

一个可能的旅行路线是 [0, 1, 2, 3]，代表从第一个城市开始，经过第二、第三和第四个城市，然后返回第一个城市。

接下来，我们需要实现模拟退火算法的核心部分。

核心模拟退火算法

在模拟退火算法中，新解的选择方法和接受准则是关键。为了得到新解，我们可以简单地交换旅行路线中的两个城市。接受准则是基于Metropolis准则，即：

P(接受新解)={1如果新解比当前解好e−ΔET否则P(\text{接受新解}) = \begin{cases} 1 & \text{如果新解比当前解好} \ e^{-\frac{\Delta E}{T}} & \text{否则} \end{cases}P(接受新解)={1e−TΔE​​如果新解比当前解好否则​

其中 ΔE\Delta EΔE 是新解和当前解的能量（在TSP问题中是旅行距离）之差，TTT 是当前温度。

以下是模拟退火算法的Python实现：