# 前言

2024电工杯(中国电机工程学会杯)数学建模思路解析

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在热力学上，退火（annealing）现象指物体逐渐降温的物理现象，温度愈低，物体的能量状态会低；够低后，液体开始冷凝与结晶，在结晶状态时，系统的能量状态最低。大自然在缓慢降温（亦即，退火）时，可“找到”最低能量状态：结晶。但是，如果过程过急过快，快速降温（亦称「淬炼」，quenching）时，会导致不是最低能态的非晶形。

如下图所示，首先（左图）物体处于非晶体状态。我们将固体加温至充分高（中图），再让其徐徐冷却，也就退火（右图）。加温时，固体内部粒子随温升变为无序状，内能增大，而徐徐冷却时粒子渐趋有序，在每个温度都达到平衡态，最后在常温时达到基态，内能减为最小（此时物体以晶体形态呈现）。

如果你对退火的物理意义还是晕晕的，没关系我们还有更为简单的理解方式。想象一下如果我们现在有下面这样一个函数，现在想求函数的（全局）最优解。如果采用Greedy策略，那么从A点开始试探，如果函数值继续减少，那么试探过程就会继续。而当到达点B时，显然我们的探求过程就结束了（因为无论朝哪个方向努力，结果只会越来越大）。最终我们只能找打一个局部最后解B。

根据Metropolis准则，粒子在温度T时趋于平衡的概率为exp(-ΔE/(kT))，其中E为温度T时的内能，ΔE为其改变数,k为Boltzmann常数。Metropolis准则常表示为

Metropolis准则表明，在温度为T时，出现能量差为dE的降温的概率为P(dE)，表示为：P(dE) = exp( dE/(kT) )。其中k是一个常数，exp表示自然指数，且dE= self.T_min: for i in range(self.iterMax): f1 = self.func(x1) delta_x = random.random() * 2 - 1 if x1 + delta_x >= self.interval[0] and x1 + delta_x 0: # 更优解 return x2 else: # 容忍解 P = self.p_max(delta, T) if P > random.random(): return x2 else: return x1 def display(self): print('seed: {}\nsolution: {}'.format(self.x_seed, self.x_solu)) plt.figure(figsize=(6, 4)) x = np.linspace(self.interval[0], self.interval[1], 300) y = self.func(x) plt.plot(x, y, 'g-', label='function') plt.plot(self.x_seed, self.func(self.x_seed), 'bo', label='seed') plt.plot(self.x_solu, self.func(self.x_solu), 'r*', label='solution') plt.title('solution = {}'.format(self.x_solu)) plt.xlabel('x') plt.ylabel('y') plt.legend() plt.savefig('SA.png', dpi=500) plt.show() plt.close() if __name__ == '__main__': SA([-5, 5], 'max')

实现结果