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随机事件：
概率论考研笔记（一）：随机事件随机事件相关概念和性质：常用随机事件间的运算律：常用随机事件间的关系命题：概率相关概念：常用概率公式：古典概型/等可能概型：几何概型：抽签原理：
概率论考研笔记（一）：随机事件
随机事件相关概念和性质：
概念释义性质随机现象非确定性的现象含多种可能出现的结果随机试验E对随机现象的一次观测①相同条件下可重复进行②所有可能结果事先已知③出现且仅出现一种结果④无法预测出现哪个结果n重伯努利试验若随机试验E只有两个可能结果且每次试验的结果相互独立独立重复的试验基本事件/样本点e随机试验E的每种可能结果在随机试验E下不可分割样本空间
Ω
\Omega
Ω随机试验E的所有可能结果的集合涵盖所有可能结果，且均已知随机事件样本空间
Ω
\Omega
Ω的某个子集含一个或多个基本事件，简称事件必然事件每次试验必然发生的事件等于样本空间
Ω
\Omega
Ω不可能事件任何一次试验都不可能发生的事件等于
∅
\empty
∅互斥事件A,B不可能同时发生的两个事件的互称
A
⋂
B
=
∅
A \bigcap B = \empty
A⋂B=∅对立事件
A
‾
\overline A
A事件A不发生的事件
A
⋂
A
‾
=
∅
A\bigcap \overline A = \empty
A⋂A=∅
A
⋃
A
‾
=
Ω
A \bigcup \overline A = \Omega
A⋃A=Ω独立事件A,B事件A,B任意一个的发生对另外一个的发生没有影响充要条件：
P
(
A
B
)
=
P
(
A
)
P
(
B
)
P(AB) = P(A)P(B)
P(AB)=P(A)P(B)完备事件组若事件组
A
1
,
A
2
,
.
.
A
n
A_1,A_2,..A_n
A1,A2,..An是样本空间
Ω
\Omega
Ω的一个划分，即事件组中任意两事件两两互斥，而其和为必然事件，则称
A
1
～
A
n
A_1～A_n
A1～An为完备事件组每次试验
A
1
～
A
n
A_1～A_n
A1～An必发生且仅发生其中一个
常用随机事件间的运算律：
运算律名运算律式分配律
A
B
+
C
=
(
A
+
C
)
(
B
+
C
)
AB+C=(A+C)(B+C)
AB+C=(A+C)(B+C)
A
(
B
+
C
)
=
A
B
+
A
C
A(B+C) = AB+AC
A(B+C)=AB+AC摩根律
A
+
B
‾
=
A
‾
B
‾
\overline{A+B} = \overline{A} \space \overline{B}
A+B=A B
A
B
‾
=
A
‾
+
B
‾
\overline{AB} = \overline{A}+\overline{B}
AB=A+B补元律
A
A
‾
=
∅
,
A
+
A
‾
=
S
A\overline{A}=\empty,\space A+\overline{A} = S
AA=∅, A+A=S吸收律若
A
⊂
B
,
A\subset B,
A⊂B,则
A
+
B
=
B
,
A
B
=
A
A+B=B,AB=A
A+B=B,AB=A分解律
A
=
A
B
+
A
B
‾
A = AB + A\overline{B}
A=AB+AB特殊地，当
B
⊂
A
B\subset A
B⊂A时，有
A
=
B
+
A
B
‾
A=B+A\overline{B}
A=B+AB蕴含律若
A
B
=
∅
,
AB=\empty,
AB=∅,则
A
⊂
B
‾
,
B
⊂
A
‾
A\subset \overline{B},B\subset\overline{A}
A⊂B,B⊂A积差律
A
−
B
=
A
B
‾
A-B=A\overline{B}
A−B=AB 常用随机事件间的关系命题：
任意两个事件A和B，若
A
B
=
A
‾
B
‾
AB = \overline{A} \space \overline{B}
AB=A B，则A和B互为对立事件若两个事件A和B互为对立事件，则其对立事件
A
‾
\overline{A}
A和
B
‾
\overline{B}
B也是对立事件（但对多个对立事件一般不成立）若两个事件A和B互斥，其对立事件
A
‾
\overline{A}
A和
B
‾
\overline{B}
B不一定互斥，当且仅当
A
+
B
=
S
A+B=S
A+B=S，即A和B对立时，其对立事件互斥/对立若两个事件A和B互斥，且
A
=
B
A=B
A=B，则A和B都是不可能事件若事件A、B的概率均大于零，则若A和B独立，那么A和B一定不互斥；反之，A和B互斥，则A和B一定不独立若事件A、B既独立又互斥，则A，B中至少有一个的概率为零若事件
(
A
,
B
)
(A,B)
(A,B)独立，则事件
(
A
,
B
‾
)
(A,\overline{B})
(A,B)、
(
B
,
A
‾
)
(B,\overline{A})
(B,A)、
(
A
‾
,
B
‾
)
(\overline{A},\overline{B})
(A,B)均独立三个事件相互独立真包含了该三个事件两两独立，而n个事件相互独立必须满足对其中的任一事件，均对其他的任意1个，2个，…，n-1个事件均独立，共有
C
n
2
+
C
n
3
+
.
.
.
+
C
n
n
=
2
n
−
n
−
1
C_n^2+C_n^3+...+C_n^{n} =2^n-n-1
Cn2+Cn3+...+Cnn=2n−n−1个约束条件
概率相关概念：
概念释义性质频率
f
n
(
A
)
f_n(A)
fn(A)事件A在n次重复试验中共出现了
n
A
n_A
nA次，则记：
f
n
(
A
)
=
n
A
n
f_n(A) = \frac{n_A}{n}
fn(A)=nnA①在一定程度上反映了事件A的可能性的大小②
0
≤
f
n
(
A
)
≤
1
0 \leq f_n(A) \leq 1
0≤fn(A)≤1概率
P
(
A
)
P(A)
P(A)事件A对应的一个实数
P
(
A
)
P(A)
P(A)，若集合函数P(*)满足： ① 非负性：
P
(
A
)
≥
0
P(A) \geq 0
P(A)≥0；②规范性：
P
(
Ω
)
=
1
P(\Omega) = 1
P(Ω)=1；③ 可列可加性：若
A
1
,
A
2
,
.
.
,
A
n
,
.
.
A_1,A_2,..,A_n,..
A1,A2,..,An,..两两互斥，且有
P
(
⋃
A
i
)
=
Σ
P
(
A
i
)
P(\bigcup A_i) = \Sigma P(A_i)
P(⋃Ai)=ΣP(Ai)④ P(
∅
\empty
∅) = 0⑤
P
(
A
−
B
)
=
P
(
A
)
−
P
(
A
B
)
P(A-B) = P(A)-P(AB)
P(A−B)=P(A)−P(AB)⑥
P
(
A
‾
)
=
1
−
P
(
A
)
P(\overline A) = 1 - P(A)
P(A)=1−P(A)条件概率
P
(
A
∥
B
)
P(A\|B)
P(A∥B)事件B发生的条件下，A发生的概率①
P
(
A
∥
B
)
=
P
(
A
B
)
P
(
B
)
P(A \| B) = \frac{P(AB)}{P(B)}
P(A∥B)=P(B)P(AB)②非负性③规范性④可列可加性
常用概率公式：
名称表达式加法公式
P
(
A
+
B
)
=
P
(
A
)
+
P
(
B
)
−
P
(
A
B
)
P(A+B) = P(A)+P(B)-P(AB)
P(A+B)=P(A)+P(B)−P(AB)特殊地，当A、B互斥时，有
P
(
A
+
B
)
=
P
(
A
)
+
P
(
B
)
P(A+B)=P(A)+P(B)
P(A+B)=P(A)+P(B)乘法公式
P
(
A
B
)
=
P
(
A
)
P
(
B
∥
A
)
⇒
P(AB) = P(A)P(B\|A) \Rightarrow
P(AB)=P(A)P(B∥A)⇒P(
Π
A
i
\Pi A_i
ΠAi) = P(
A
1
A_1
A1)P(
A
2
∥
A
1
A_2\| A_1
A2∥A1)P(
A
3
∥
A
1
A
2
A_3\| A_1 A_2
A3∥A1A2)…P(
A
n
∥
A
1
A
2
.
.
.
A
n
−
1
A_n\|A_1 A_2...A_{n-1}
An∥A1A2...An−1)全概率公式若
A
1
～
A
n
A_1～A_n
A1～An为完备事件组，则：
P
(
B
)
=
Σ
P
(
A
i
)
P
(
B
∥
A
i
)
P(B) =\Sigma P(A_i)P(B \| A_i)
P(B)=ΣP(Ai)P(B∥Ai) 贝叶斯公式若
A
1
～
A
n
A_1～A_n
A1～An为完备事件组，则：
P
(
A
k
∥
B
)
=
P
(
A
k
)
P
(
B
∥
A
k
)
Σ
P
(
A
i
)
P
(
B
∥
A
i
)
P(A_k \| B) = \frac{P(A_k)P(B \| A_k)}{\Sigma P(A_i)P(B \| A_i)}
P(Ak∥B)=ΣP(Ai)P(B∥Ai)P(Ak)P(B∥Ak)全集分解
P
(
A
)
=
P
(
A
B
)
+
P
(
A
B
‾
)
P(A) = P(AB)+P(A\overline{B})
P(A)=P(AB)+P(AB)积差公式
P
(
A
−
B
)
=
P
(
A
B
‾
)
=
P
(
A
)
−
P
(
A
B
)
P(A-B) = P(A\overline{B}) = P(A)-P(AB)
P(A−B)=P(AB)=P(A)−P(AB)特殊地，当
B
⊂
A
B\subset A
B⊂A时，有
P
(
A
−
B
)
=
P
(
A
)
−
P
(
B
)
P(A-B) = P(A)-P(B)
P(A−B)=P(A)−P(B)积和公式
P
(
A
+
B
)
=
P
(
A
−
B
)
+
P
(
B
)
=
P
(
B
)
+
P
(
A
B
‾
)
=
P
(
A
)
+
P
(
B
A
‾
)
P(A+B) = P(A-B)+P(B) = P(B)+P(A\overline{B}) = P(A)+P(B\overline{A})
P(A+B)=P(A−B)+P(B)=P(B)+P(AB)=P(A)+P(BA)
古典概型/等可能概型： ① 若有一类随机试验，具有以下特点： （1）样本空间 Ω \Omega Ω是有限集合（有限性）； （2）样本空间 Ω \Omega Ω中的每个基本事件e发生的可能性相同（等可能性）； 则称该随机试验为古典概型/等可能概型； ② 古典概型概率计算公式： P ( A ) = A 包 含 的 样 本 点 数 样 本 点 总 数 P(A) = \frac{A包含的样本点数}{样本点总数} P(A)=样本点总数A包含的样本点数 ③ 计算古典概型时的两点技巧： 求事件A={至少存在一个}的概率常化为求其对立事件的概率事件{任取k件}和事件{无放回地逐次取k件}的概率相同，只是二者考虑问题的角度不同 几何概型：若有一类随机试验，具有以下特点： （1）样本空间 Ω \Omega Ω对应于一个度量有限的几何区域S（可度量）； （2）所有基本事件e与S中的点一一对应（无限性）； （3）任一随机事件A对应 Ω \Omega Ω中的某个子区域D，且P(A)只和D的度量成正比，与D的形状和在S中的位置无关； 则称该随机试验为几何概型； 几何概型概率计算公式： P ( A ) = A 对 应 子 区 域 D 的 度 量 样 本 空 间 对 应 S 的 度 量 P(A) = \frac{A对应子区域D的度量}{样本空间对应S的度量} P(A)=样本空间对应S的度量A对应子区域D的度量 抽签原理：若n个签中有m个正签，则让n个人排队依次抽签，则第k个人抽到正签的概率均等于 m n \cfrac{m}{n} nm，与抽签次序和抽签方式(放回还是不放回)均无关 |
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