《概率论与数理统计》第三章总结

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《概率论与数理统计》第三章总结

2024-06-12 08:52| 来源: 网络整理| 查看: 265

一、二维随机变量及其分布

1、设 $(X,Y)$ 为二维随机变量，对任意实数 $x,y$ ，二元函数

$F(x,y)=P(X\leqslant x,Y\leqslant y)$

称为二维随机变量 $(X,Y)$ 的联合分布函数，简称为 $(X,Y)$ 的分布函数。表示事件 $\left \{ X\leqslant x \right \}$ 和事件 $\left \{ Y\leqslant y \right \}$ 同时发生的概率。由此可以得到

$P(x_{1} X\leqslant x_{2},y_{1}Y\leqslant y_{2} )$

$=F(x_{2},y_{2})-F(x_{1},y_{2})-F(x_{2},y_{1})+F(x_{1},y_{1})$

2、性质：（1） $F(x,y)$ 是关于 $x$ 或 $y$ 的非减函数，即对于固定的 $y$ ，当 $x_{1}x_{2}$ 时， $F(x_{1},y)\leqslant F(x_{2},y)$ ；对于固定的 $x$ ，当 $y_{1}y_{2}$ 时， $F(x,y_{1})\leqslant F(x,y_{2})$ ;

（2） $0\leqslant F(x,y)\leqslant 1$ ，且

$F(+\infty ,+\infty )=\lim_{x\rightarrow +\infty ,y\rightarrow +\infty }F(x,y)=1$

$F(-\infty ,-\infty )=\lim_{x\rightarrow -\infty ,y\rightarrow -\infty }F(x,y)=0$

$F(x ,-\infty )=\lim_{y\rightarrow -\infty }F(x,y)=0$

$F(-\infty ,y )=\lim_{x\rightarrow -\infty }F(x,y)=0$

（3） $F(x,y)$ 关于x或y都是右连续，即

$F(x+0,y)=F(x,y),F(x,y+0)=F(x,y)$

3、若二维随机变量 $(X,Y)$ 只取有限对或可数无限对不同值 $(x_{i},y_{i})$ ， $i,j=1,2,...$ 则称 $(X,Y)$ 为二位离散型随机变量。同时，称

$P(X=x_{i},Y=y_{j})=p_{ij},i,j=1,2,...$

为(X,Y)的联合概率分布，简称为概率分布或分布律。

自然， $p_{ij}$ 具有下列性质：

（1） $p_{ij}\geqslant 0,i,j=1,2,...$

（2） $\sum_{i}^{}\sum_{j}^{}p_{ij}=1$

4、设F(x,y)是二维随机变量(X,Y)的联合分布函数，如果存在非负二元函数 $f(x,y)$ ，对于任意的实数x,y,都有

$F(x,y)=\int_{-\infty }^{x}\int_{-\infty }^{y}f(u,v)dudv$

则称(X,Y)为二维连续型随机变量，函数f(x,y)称为(X,Y)的联合概率密度函数，简称为概率密度或密度函数。

密度函数f(x,y)具有以下性质：

（1） $f(x,y)\geqslant 0$

（2） $\int_{-\infty }^{+\infty }\int_{-\infty }^{+\infty }f(u,v)dudv=1$

5、设D是平面上的有界区域，其面积为A，若二维随机变量 $(X,Y)$ 的密度函数为

$f(x,y)=\left\{\begin{matrix} \frac{1}{A},(x,y)\in D\\ 0,else \end{matrix}\right.$

则称(X,Y)服从区域D上的均匀分布。

6、若二维随机变量(X,Y)的密度函数为

$f(x,y)=\frac{1}{2\pi \sigma_{1} \sigma_{2}\sqrt{1-\rho ^{2}} }exp\left \{ -\frac{1}{2(1-\rho ^{2})}[\frac{(x-\mu _{1})}{\sigma _{1}^{2}}-2\rho \frac{(x-\mu _{1})(y-\mu _{2})}{\sigma_{1} \sigma_{2} }+\frac{(y-\mu _{2})^{2}}{\sigma _{2}2}] \right \},$

$-\infty x+\infty ,-\infty y+\infty ,$

其中 $\mu _{1},\mu _{2},\sigma _{1}0,\sigma _{2}0,\rho (\left | \rho \right |1)$ 均为常数，则称(X,Y)服从参数 $\mu _{1},\mu _{2},\sigma _{1},\sigma _{2},\rho$ 的二维正态分布。记作 $(X,Y)\sim N(\mu _{1},\sigma _{1}^{2};\mu _{2},\sigma _{2}^{2};\rho )$

二、边缘分布

1、边缘分布函数为 $F_{X}(x),F_{Y}(y)$ ,

$F_{X}(x)=F(x,+\infty ),F_{Y}(y)=F(+\infty ,y)$

2、 $P(X=x_{i})=\sum_{j}^{}p_{ij},i=1,2,...$

$P(Y=y_{j})=\sum_{i}^{}p_{ij},j=1,2,...$

两式分别称为关于二维离散型随机变量X和Y的边缘概率分布。

在一般情况下，联合概率分布唯一确定其边缘概率分布，反之不然。

3、 $f_{X}(x)=\int_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dy,f_{Y}(y)=\int_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dx$

分别称为二维连续型随机变量(X,Y)关于X和Y的边缘概率密度函数，简称边缘密度函数。

仅仅由X和Y的边缘分布，一般不能完全确定二维随机变量(X,Y)的联合分布。

三、条件分布

1、离散型随机变量：

对某一固定的i，若 $P(X=x_{i})=p_{i\cdot }0$ ,则称

$P(Y=y_{j}|X=x_{i})=\frac{P(X=x_{i},Y=y_{j})}{P(X=x_{i})}=\frac{p_{ij}}{p_{i\cdot }},j=1,2,...$

为在 $X=x_{i}$ 的条件下，随机变量Y的条件分布律。

对某一固定的j，若 $P(Y=y_{j})=p_{\cdot j}0$ ,则称

$P(X=x_{i}|Y=y_{j})=\frac{P(X=x_{i},Y=y_{j})}{P(Y=y_{j})}=\frac{p_{ij}}{p_{\cdot j}},i=1,2,...$

为在 $Y=y_{j}$ 的条件下，随机变量X的条件分布律。

性质：

（1） $P(Y=y_{j}|X=x_{i})\geqslant 0,P(X=x_{i}|Y=y_{j})\geqslant 0$

（2） $\sum_{j}^{}P(Y=y_{j}|X=x_{i})=1,\sum_{i}^{}P(X=x_{i}|Y=y_{j})=1$

2、连续型随机变量

$F_{Y|X}(y|x)=\int_{-\infty }^{y}\frac{f(x,v)}{f_{X}(x)}dv,F_{X|Y}(x|y)=\int_{-\infty }^{x}\frac{f(u,y)}{f_{Y}(y)}du$

条件概率密度函数为 $f_{Y|X}(y|x)=\frac{f(x,y)}{f_{X}(x)},f_{X|Y}(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_{Y}(y)}$ ，其中 $f_{X}(x)0,f_{Y}(y)0$ 且连续。

四、随机变量的独立性

1、设二维随机变量(X,Y)的联合分布函数，关于X和Y的边缘分布函数分别为 $F(x,y),F_{X}(x),F_{Y}(y)$ .若对任意的实数x,y,有

$F(x,y)=F_{X}(x)F_{Y}(y)$

则称随机变量X与Y相互独立。

若(X,Y)为离散型随机变量时，该式等价于

$P(X=x_{i},Y=y_{j})=P(X=x_{i})P(Y=y_{j}),i,j=1,2,...$

若(X,Y)为连续型随机变量时，该式等价于

$f(x,y)=f_{X}(x)f_{Y}(y)$

2、当X和Y相互独立时，边缘概率密度函数(或边缘分布函数)的乘积就是(X,Y)的联合概率密度函数(或联合分布函数)，即边缘分布完全确定联合分布。

五、二维随机变量函数的分布

1、离散型随机变量函数的分布：

$P(Z=z_{k})=P(g(X,Y)=z_{k})=\sum_{g(x_{i},y_{j})=z_{k}}^{}p_{ij},k=1,2,...$

2、连续型随机变量函数的分布：

1）和的分布，Z=X+Y

$F_{Z}(z)=\int_{-\infty }^{z}[\int_{-\infty }^{+\infty }f(x,u-x)dx]du,f_{Z}(z)=\int_{-\infty }^{+\infty }f(x,z-x)dx$

$f_{Z}(z)=\int_{-\infty }^{+\infty }f(z-y,y)dy$

当X与Y相互独立时，由于 $f(x,y)=f_{X}(x)f_{Y}(y)$ ，则可得到概率密度函数的卷积公式

$f_{Z}(z)=\int_{-\infty }^{+\infty }f_{X}(x)f_{Y}(z-x)dx,f_{Z}(z)=\int_{-\infty }^{+\infty }f_{X}(z-y)f_{Y}(y)dy$

2）商的分布， $Z=\frac{X}{Y}$

$F_{Z}(z)=\int_{-\infty }^{z}[\int_{-\infty }^{+\infty }f(yu,y)\left | y \right |dy]du,f_{Z}(z)=\int_{-\infty }^{+\infty }f(yz,y)\left | y \right |dy$

特别的，当X和Y相互独立时，

$f_{Z}(z)=\int_{-\infty }^{+\infty }f_{X}(yz)f_{Y}(y)\left | y \right |dy$

3） $M=max\left \{ X,Y \right \},N=min\left \{ X,Y \right \}$ 的分布

设X，Y是相互独立的随机变量，它们的分布函数分别是 $F_{X}(x),F_{Y}(y)$ ，则

$F_{M}(z)=F_{X}(z)F_{Y}(z),F_{N}(z)=1-[1-F_{X}(z)][1-F_{Y}(z)]$

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