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假设你是个大学老师。 在检查了一周的作业后，对学生进行了打分。 让录分员创建一个包含所有学生成绩的电子表格，要求是只含分数不含学生姓名等信息。

于是乎，录分员一个大粗心，漏录了好几个分数，介个时候不知道把谁给漏录了。来看看怎么解决这个问题吧。

一种方法是可视化已录数据，并从中发现某些数据中的趋势。

上面这个图就是画出来的数据的频率分布图。 可以从图的边缘隐约看到一条光滑的曲线可以用来定义我们的数据，但是我们也得注意到一个异常，有个段的柱条缺半截似的，也就是这一段分数范围内的频率异常低。所以最好是能有些值来把这个短半截给补上。

这就是一个现实生活中用数据分析解决问题的一个例子。对任何科学家而言，不管你是个学生或者是专家，分布是一个必知的概念。因为这是分析和统计推断的基础。

概率概念给了我们计算它的方法，分布才是帮我们看清数据背后的暗泉涌动。

目录：

在正式的解释分布之前，我们先来看一看平时遇到的数据。数据可大致分为离散型数据和连续型数据。

离散型数据顾名思义就是只取几个特定的值。例如：当你掷骰子的时候，结果只有1,2,3,4,5,6，不会出现类似1.5,2.5。

在一个给定的范围内，连续型数据可以取任意值。这个范围可以是有限的或者是无穷的。例如：一个人的体重或者身高，可以取值54kg,54.4kg,54.33333kg等等都没有问题。

下面就开始介绍分布的类型。

首先从最简单的分布开始，伯努利分布实际上是一个听起来最容易理解的分布。

伯努利分布一次实验有两个可能的结果，比如1代表success及0代表failure。随机变量 X 一个取值为1并代表成功，成功概率为 p ，一个取值为0表示失败，失败概率为q或者说 1−p 。

这里，概率分布函数为 px(1−p)1−x ，其中 x∈(0,1) ，我们也可以写成如下形式：

成功和失败的概率没必要相同，也就是没必要都是0.5，但是这俩概率加和应该为1，比如可以是下面的图：

这个图就是 p(success)=0.15，p(failure)=0.85 。

下面说一下随机变量的期望，一个分布的期望就是这个分布的均值。服从伯努利分布的随机变量 X 的期望值就是：

服从伯努利分布的随机变量的方差是：

还有许多伯努利分布的例子，比如说明天是否会下雨，今天会不会去健身，明天乒乓球比赛是不是会赢。

当你掷骰子的时候，结果出现1到6中的任何一个，而任何一个结果出现的概率都是相同的，这就是均匀分布最原始的雏形。你可能看出来了，与伯努利分布不同的是，这 n 个出现的结果的概率都是相同的。

一个随机变量X为均匀分布是指密度函数如下：

标准的均匀分布的密度参数为 a=0 和 b=0 ，所以对于标准的均匀分布的密度函数为：

我们假定一个随机变量，比如 X ，表示你赢得比赛的次数。 X可能的值是什么？ 它可以是任何数字，赢得比赛的次数。

如果就两个可能的结果。 成功，失败。 因此，成功概率= 0.5，失败的概率可以容易地计算为： q=p−1=0.5 。

只有两种结果是可能的分布，如成功或失败，以及所有试验的成功和失败概率相同的情况称为二项分布。

发生结果的可能性不同时， 前面的例子如果实验成功的概率是0.2，那么失败的概率可以很容易地计算出来， q=1−0.2=0.8 。

每次试验都是独立的，因为之前的结果并不决定或影响当前的结果。 只有两次重复n次的可能结果的实验称为二项式。 二项分布的参数是 n 和p，其中 n 是试验的总数，p是每个试验中成功的概率。

基于上述解释，二项分布的性质是：

二项分布的数学表达式由下式给出：

一个二项分布图，其中成功的概率不等于失败的概率长这样：

成功概率与失败概率相等，长这样：

二项分布均值和方差：

Mean -> μ=n∗p

Variance -> Var(X)=n∗p∗q

正态分布可以表示宇宙中大多数的事件发生情况。 如果任何分布具有以下特征，则称为正态分布：

正态分布与二项分布有很大的不同。 但是，如果试验次数接近无穷大，则形状将非常相似。

服从正态分布的随机变量 X 的密度函数为：

这里 μ (mean)和 σ (standard deviation)是两个参数，随机变量 X∼N(μ,σ) 的不同取值的变化图如下：

标准正态分布的均值为0，方差为1，密度图如下：

我们再来考虑一下呼叫中心的例子。 想想通话间的时间间隔是多少？ 指数分布来解决我们的问题。 指数分布对呼叫之间的时间间隔建模。

其他例子： 1. 两站地铁到达之间的时间长度 2. 到达加油站的时间长度 3. 空调的使用寿命

指数分布广泛用于生存分析。 从机器的预期寿命到人的预期寿命，指数分布可用来传递这些结果。

随机变量 X 服从指数分布，它的PDF 为：

参数 λ>0 也叫做速率。

对于生存分析， λ 被称为设备在任何时间 t 的故障率，假设它存活到t。

服从指数分布的随机变量X的均值和方差：

Mean -> E(X)=1λ

Variance -> Var(X)=(1λ)2

此外，速率越大，曲线越下降快，速率越低，曲线越平滑。 下图显示了这一点：

为了简化计算，下面给出了一些公式。 P{X≤x}=1−e−λx 对应于 x 左边密度曲线下的面积。

P{X>x}=1−e−λx对应于 x 右侧密度曲线下的面积。

P{x1 ∞ 2. 每次试验成功的概率相同，无穷小或者 p ->0 3. np=λ，有限。

正态分布是在以下条件下二项分布的另一种极限形式，条件如下： 1. 试验次数无限大 n -> ∞ 2. p 和q都不是无限小的。

正态分布也是参数 λ -> ∞的泊松分布的一个极限情况。

如果随机事件之间的时间遵循速率为 λ 的指数分布，那么长度为t的时间段内的事件总数遵循具有参数 λt 的泊松分布。

概率分布在许多领域都很普遍，即保险学，物理学，工程学，计算机科学甚至社会科学，其中心理学和医学学生广泛使用概率分布。 它有一个简单的应用程序和广泛的使用。 这篇文章强调了在日常生活中观察到的六个重要分布，并解释了它们的应用。 现在你将能够识别，关联和区分这些分布。

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