特征函数是随机变量的分布的不同表示形式。

一般而言，对于随机变量 X X X的分布，大家习惯用概率密度函数来描述，虽然概率密度函数理解起来很直观，但是确实随机变量的分布还有另外的描述方式，比如特征函数。

特征函数的本质是概率密度函数的泰勒展开

每一个级数表示原始概率密度函数的一个特征

如果两个分布的所有特征都相同，那我们就认为这是两个相同的分布

矩是描述概率分布的重要特征，期望、方差等概念都是矩的特殊形态

直觉上可以简单理解为：

φ X ( t ) = E [ e i t X ] \varphi_{X}(t)=E\left[e^{i t X}\right] φX​(t)=E[eitX]

{%raw%} φ x ( t ) = ∫ − ∞ ∞ e i t x f ( x ) ⋅ d x \varphi_x(t)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{i t x} f(x) \cdot d x φx​(t)=∫−∞∞​eitxf(x)⋅dx {%endraw%}

e i t X = 1 + i t X 1 − t 2 X 2 2 ! + ⋯ + ( i t ) n X n n ! e^{i t X}=1+\frac{i t X}{1}-\frac{t^{2} X^{2}}{2 !}+\cdots+\frac{(i t)^{n} X^{n}}{n !} eitX=1+1itX​−2!t2X2​+⋯+n!(it)nXn​

φ X ( t ) = E [ e i t X ] = E ( 1 + i t X 1 − t 2 X 2 2 ! + ⋯ + ( i t ) n X n n ! ) = E ( 1 ) + E ( i t X 1 ) − E ( t 2 X 2 2 ! ) + ⋯ + E ( ( i t ) n X n n ! ) = 1 + i t E [ X ] ⏞ 一阶矩  1 − t 2 E [ X 2 ] ⏞ 二阶矩  2 ! + ⋯ + ( i t ) n E [ X n ] ⏞ n阶矩  n ! \begin{aligned} \varphi_{X}(t) &=E\left[e^{i t X}\right] \\ &=E\left(1+\frac{i t X}{1}-\frac{t^{2} X^{2}}{2 !}+\cdots+\frac{(i t)^{n} X^{n}}{n !}\right) \\ &=E(1)+E\left(\frac{i t X}{1}\right)-E\left(\frac{t^{2} X^{2}}{2 !}\right)+\cdots+E\left(\frac{(i t)^{n} X^{n}}{n !}\right) \\ &=1+\frac{i t \overbrace{E[X]}^{\text {一阶矩 }}}{1}-\frac{t^{2} \overbrace{E\left[X^{2}\right]}^{\text {二阶矩 }}}{2 !}+\cdots+\frac{(i t)^{n} \overbrace{E\left[X^{n}\right]}^{\text {n阶矩 }}}{n !} \end{aligned} φX​(t)​=E[eitX]=E(1+1itX​−2!t2X2​+⋯+n!(it)nXn​)=E(1)+E(1itX​)−E(2!t2X2​)+⋯+E(n!(it)nXn​)=1+1itE[X] ​一阶矩 ​​−2!t2E[X2] ​二阶矩 ​​+⋯+n!(it)nE[Xn] ​n阶矩 ​​​

φ x ( t ) = ∫ − ∞ ∞ e i t x f ( x ) ⋅ d x \varphi_x(t)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{i t x} f(x) \cdot d x φx​(t)=∫−∞∞​eitxf(x)⋅dx

φ y ( t ) = φ x 1 + x 2 ( t ) = ∬ − ∞ ∞ e i t ( x 1 + x 2 ) ⋅ f ( x 1 ) ⋅ g ( x 2 ) ⋅ d x 1 d x 2 = ∫ − ∞ ∞ e i t x 1 f ( x 1 ) d x 1 ⋅ ∫ − ∞ ∞ e i t x 2 g ( x 2 ) d x 2 = φ x 1 ( t ) ⋅ φ x 2 ( t ) \begin{array}{l} \varphi_{y}(t)&=\varphi_{x_{1}+x_{2}}(t) \\ &=\iint_{-\infty}^{\infty} e^{i t\left(x_{1}+x_{2}\right)} \cdot f\left(x_{1}\right) \cdot g\left(x_{2}\right) \cdot d x_{1} d x_{2} \\ &=\int_{-\infty}^{\infty} e^{i t x_{1}} f\left(x_{1}\right) d x_{1} \cdot \int_{-\infty}^{\infty} e^{i t x_{2}} g\left(x_{2}\right) d x_{2} \\ &=\varphi_{x_{1}}(t) \cdot \varphi_{x_{2}}(t) \end{array} φy​(t)​=φx1​+x2​​(t)=∬−∞∞​eit(x1​+x2​)⋅f(x1​)⋅g(x2​)⋅dx1​dx2​=∫−∞∞​eitx1​f(x1​)dx1​⋅∫−∞∞​eitx2​g(x2​)dx2​=φx1​​(t)⋅φx2​​(t)​

φ y ( t ) = φ a x + b ( t ) = ∫ − ∞ ∞ e i t ( a x + b ) f ( x ) d x = e i t b ∫ − ∞ ∞ e i ( a t ) x f ( x ) d x = e i t b ⋅ φ x ( a t ) \begin{array}{l} \varphi_{y}(t)&=\varphi_{a x+b}(t)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{i t(a x+b)} f(x) d x \\ &=e^{i t b} \int_{-\infty}^{\infty} e^{i(a t) x} f(x) d x \\ &=e^{i t b} \cdot \varphi_{x}(a t) \end{array} φy​(t)​=φax+b​(t)=∫−∞∞​eit(ax+b)f(x)dx=eitb∫−∞∞​ei(at)xf(x)dx=eitb⋅φx​(at)​

f ( x ) = 1 2 π e − x 2 2 f(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{x^{2}}{2}} f(x)=2π ​1​e−2x2​ {%endraw%}

φ ( t ) = ∫ − ∞ ∞ e i t x ⋅ 1 2 π e − x 2 2 ⋅ d x = e − t 2 2 ∫ − ∞ ∞ 1 2 π e − ( x − i t ) 2 2 d ( x − i t ) = e − t 2 2 \begin{array}{l} \varphi(t)&=\int_{-\infty}^{\infty} e^{i t x} \cdot \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{x^{2}}{2}} \cdot d x \\ &=e^{-\frac{t^{2}}{2}} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{(x-i t)^{2}}{2}} d(x-i t) \\ &=e^{-\frac{t^{2}}{2}} \end{array} φ(t)​=∫−∞∞​eitx⋅2π ​1​e−2x2​⋅dx=e−2t2​∫−∞∞​2π ​1​e−2(x−it)2​d(x−it)=e−2t2​​ {%endraw%}

E ( X ) = ∫ − ∞ + ∞ x f ( x ) d x {\rm{E(X) = }}\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {xf(x)dx} E(X)=−∞∫+∞​xf(x)dx

{%raw%} φ X ( t ) = E [ e i t X ] = ∫ − ∞ + ∞ e i t X f ( x ) d x \begin{array}{l} {\varphi _X}(t) &= E[{e^{itX}}]\\ &= \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {{e^{itX}}f(x)dx} \end{array} φX​(t)​=E[eitX]=−∞∫+∞​eitXf(x)dx​

{%endraw%}

F ( X ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x ) e − i t x d x {\rm{F(X) = }}\int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } {f(x)e^{-itx}dx} F(X)=−∞∫+∞​f(x)e−itxdx

φ X ( t ) = F ( t ) ‾ {\varphi _X}(t) = \overline {F(t)} φX​(t)=F(t)​

https://www.zhihu.com/question/23686709/answer/376439033

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