公式：

设A, B为任意两个事件，若P(A)>0，我们称在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率为条件概率，记为 P ( B ∣ A ) P(B|A) P(B∣A)，并定义： P ( B ∣ A ) = P ( A B ) P ( A )            ( P ( A ) > 0 ) P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)} ~~~~~~~~~~(P(A)>0) P(B∣A)=P(A)P(AB)​          (P(A)>0)

解释：

以投骰子游戏为例，设事件 A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } A=\{1,2,3,4,5\} A={1,2,3,4,5}，事件 B = { 1 , 2 , 3 , 6 } B=\{1,2,3,6\} B={1,2,3,6}

则“当事件 A A A 发生的前提下，事件B发生的概率”意思为：现在知道投出的点数为A中的其中一个，那么有多少概率该点数也是B中的一个呢？

所以，要先求出AB的交集， A B = { 1 , 2 , 3 } AB=\{ 1,2,3 \} AB={1,2,3} 。如果投掷的点数在 A B AB AB 中，那么 B B B事件就也发生了

所以 P ( B ∣ A ) = P ( A B ) P ( A ) = 3 5 P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)} = \frac{3}{5} P(B∣A)=P(A)P(AB)​=53​

公式：

如果 P ( A ) > 0 P(A)>0 P(A)>0 ，则 P ( A B ) = P ( A ) P ( B ∣ A ) P(AB) = P(A)P(B|A) P(AB)=P(A)P(B∣A) 一般地，如果 P ( A 1 ⋯ A n − 1 ) > 0 P(A_1\cdots A_{n-1})>0 P(A1​⋯An−1​)>0 ，则 P ( A 1 A 2 ⋯ A n ) = P ( A 1 ) P ( A 2 ∣ A 1 ) P ( A 3 ∣ A 1 A 2 ) ⋯ P ( A n ∣ A 1 ⋯ A n − 1 ) P(A_1A_2\cdots A_n) = P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1A_2)\cdots P(A_n|A_1\cdots A_{n-1}) P(A1​A2​⋯An​)=P(A1​)P(A2​∣A1​)P(A3​∣A1​A2​)⋯P(An​∣A1​⋯An−1​)

注： A i A_i Ai​ 先于 A i + 1 A_{i+1} Ai+1​ 发生时用此公式

解释：

将条件概率公式的分母 P ( A ) P(A) P(A) 挪过去，就得到了该公式

公式：

如果 ⋃ i = 1 n A i = Ω \bigcup_{i=1}^n A_i = \Omega ⋃i=1n​Ai​=Ω ， A i A j = ∅   ( i ≠ j ) A_i A_j = \varnothing~(i\neq j) Ai​Aj​=∅ (i​=j) ， P ( A i ) > 0 P(A_i)>0 P(Ai​)>0 ， 则对任一事件 B B B ,有 B = ⋃ i = 1 n A i B P ( B ) = ∑ i = 1 n P ( A i ) P ( B ∣ A i ) B = \bigcup_{i=1}^{n} A_i B \\\\ P(B) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i) P(B|A_i) B=i=1⋃n​Ai​BP(B)=i=1∑n​P(Ai​)P(B∣Ai​)

解释：

已知有很多事件 A i A_i Ai​，每个事件的发生都会影响B事件的发生（影响可能是0），那么 B 事件的发生概率就是 P ( B ) P(B) P(B)。

假设，现在我们想派 张三、李四、王五 三个中的其中一个去偷东西，他们被委派的概率分别是： 1 10 、 3 10 、 6 10 \frac{1}{10}、\frac{3}{10}、\frac{6}{10} 101​、103​、106​。而他们偷窃成功的概率分别是 0 、 1 3 , 1 2 0、\frac{1}{3}, \frac{1}{2} 0、31​,21​ 。 那么，现在问，东西被偷成功的概率是多少？

在该样例中，事件 B B B 为“东西被偷成功”，事件 A 1 A_1 A1​为“派张三去偷”，依次类推；则 P ( B ∣ A 1 ) P(B|A_1) P(B∣A1​) 为“派张三去偷的前提下，偷成功的概率”，依次类推。我们将其总结成以下表格

那么，偷成功的概率则为： P ( B ) = ∑ i = 1 3 P ( A i ) P ( B ∣ A i ) = 1 10 × 0 + 3 10 × 1 3 + 6 10 × 1 2 = 2 5 P(B) = \sum_{i=1}^{3} P(A_i) P(B|A_i) = \frac{1}{10} \times 0+ \frac{3}{10} \times \frac{1}{3} + \frac{6}{10} \times \frac{1}{2} = \frac{2}{5} P(B)=i=1∑3​P(Ai​)P(B∣Ai​)=101​×0+103​×31​+106​×21​=52​

公式：

如果 ⋃ i = 1 n A i = Ω \bigcup_{i=1}^n A_i = \Omega ⋃i=1n​Ai​=Ω ， A i A j = ∅   ( i ≠ j ) A_i A_j = \varnothing~(i\neq j) Ai​Aj​=∅ (i​=j) ， P ( A i ) > 0 P(A_i)>0 P(Ai​)>0 ， 则对任一事件 B B B , 只要 P ( B ) > 0 P(B)>0 P(B)>0 ，就有： P ( A j ∣ B ) = P ( A j ) P ( B ∣ A j ) ∑ i = 1 n P ( A i ) P ( B ∣ A i )          ( j = 1 , 2 , ⋯   , n ) P(A_j | B) = \frac{P(A_j)P(B|A_j)}{\sum_{i=1}^{n}P(A_i) P(B|A_i)} ~~~~~~~~(j=1,2,\cdots,n) P(Aj​∣B)=∑i=1n​P(Ai​)P(B∣Ai​)P(Aj​)P(B∣Aj​)​        (j=1,2,⋯,n)

解释：

贝叶斯公式是全概率公式的逆公式，意思为：现在已知B事件已经发生了，找出是由哪个 A j A_j Aj​ 引起的。

还是用上面的例子。现在东西已经被偷了，我想知道“是张三干、是李四干的、是王五干的”这三个事件的概率。

将 P ( A j B ) P(A_jB) P(Aj​B) 求得，分别是： P ( A 1 ∣ B ) = P ( A 1 ) P ( B ∣ A 1 ) ∑ i = 1 n P ( A i ) P ( B ∣ A i ) = 1 10 × 0 2 / 5 = 0 P ( A 2 ∣ B ) = P ( A 2 ) P ( B ∣ A 2 ) ∑ i = 1 n P ( A i ) P ( B ∣ A i ) = 3 10 × 1 3 2 / 5 = 1 4 P ( A 2 ∣ B ) = P ( A 3 ) P ( B ∣ A 3 ) ∑ i = 1 n P ( A i ) P ( B ∣ A i ) = 6 10 × 1 2 2 / 5 = 3 4 \begin{aligned} P(A_1 | B) &= \frac{P(A_1)P(B|A_1)}{\sum_{i=1}^{n}P(A_i) P(B|A_i)} = \frac{\frac{1}{10}\times 0}{2/5} = 0 \\\\ P(A_2 | B) &= \frac{P(A_2)P(B|A_2)}{\sum_{i=1}^{n}P(A_i) P(B|A_i)} = \frac{\frac{3}{10}\times \frac{1}{3}}{2/5} = \frac{1}{4} \\\\ P(A_2 | B) &= \frac{P(A_3)P(B|A_3)}{\sum_{i=1}^{n}P(A_i) P(B|A_i)} = \frac{\frac{6}{10}\times \frac{1}{2}}{2/5} = \frac{3}{4} \\\\ \end{aligned} P(A1​∣B)P(A2​∣B)P(A2​∣B)​=∑i=1n​P(Ai​)P(B∣Ai​)P(A1​)P(B∣A1​)​=2/5101​×0​=0=∑i=1n​P(Ai​)P(B∣Ai​)P(A2​)P(B∣A2​)​=2/5103​×31​​=41​=∑i=1n​P(Ai​)P(B∣Ai​)P(A3​)P(B∣A3​)​=2/5106​×21​​=43​​

从上面的计算不难看出，贝叶斯公式的分母就是全概率公式的结果，即东西被偷成功的概率；而分子则是此人所占的比重，即此人被派去偷且偷成功的概率