概率空间(probability space) |
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上一篇文章介绍了什么是测度空间(measure space),这篇文章将在其基础上介绍概率空间以及相关的性质和推导。 一、概率测度(probability measure) 概率测度是一种特殊的测度,它将-域中的事件映射到[0,1]的区间上,二不是整个正实数集。 定义1.1 给定一个可测空间,称函数为该空间的概率测度,若满足: (1); (2); (3)对于互不相交的任意事件,有 概率测度还有另外一种定义方式,用到了Kolmogorov方式,具体形式为: 定义 1.2 称函数为可测空间上的概率测度,若满足: (1); (2)对于,有; (3)对于任意不相交的事件,有; (4)若且,那么有 其中,(1)-(3)被称为有限可加概率(finitely additive probability)定理,(4)被称为连续性定理(axiom of continuity),也被称为Kolmogorov定理。 为了直观的理解上述定义,这里可以将看作中事件发生的频率。假设我们共进行次实验,对于,记事件发生的次数为,那么可以用来表示,那么对于上述的有限可加概率来说, (1)由于每次实验总会有某一结果出现,即,故; (2)对于,有,故; (3)对于不相交事件,或发生的次数等于和分别发生的次数,即,故 对于连续性定理来说,我们在实际生活中虽然很少会遇到涉及无限的问题,但是为了保证概率测度的测度属性,连续性的条件是必要的。对于连续性而言,交运算也是成立的,即: 若,且,那么有 证明: 考虑补集,那么 由定义,有
上面共给出了概率测度的两种定义,下面将证明这两种定义是等价的。 证明: 定义1.1定义1.2 对于不相交的,令, 则互不相交,且;又由 可得 若存在序列,且 令 则互不相交,且 根据定义,有 对于 即单增且收敛于,即 定义1.2定义1.1 若存在互不相交的序列,且 记,则,且 故 对于有限的来说,有 所以有 二、概率空间(probability space) 定义2.1 称三元组为概率空间,如果是一个测度空间,且为定义在该空间上的概率测度。 |
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