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概率的基本性质
主编:黄冈中学数学集体备课组 初中和高中九科名师视频课程免费试听1200分钟 高一视频 高一全科强化班辅导视频 免费听课![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() 一、知识概述 (一)事件的关系与运算 1、包含关系 对于事件A与事件B,如果事件A发生,则事件B一定发生,这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B),记作B 事件的包含关系与集合的包含关系: 与集合的包含关系类似,B包含事件A(B 可用下图表示. 不可能事件记作 事件A也包含于事件A,即A 例如:在投掷骰子的试验中,{出现1点} 2、相等事件 如果B (1)两个相等的事件A、B总是同时发生或同时不发生; (2)所谓A=B,就是A、B是同一事件,这在验证两个事件是否相等时,是非常有用的,在许多情况中可以说是唯一的一种方法.例如事件C发生,那么事件D一定发生,反之亦然,则C=D. 3、并(和)事件 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生,则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件),记作A∪B(或A+B). 并(和)事件与集合的并集的关系: 与两个集合的并集类似,并事件A∪B(或A+B)可用下图表示.
并事件具有三层意思: ①事件A发生,事件B不发生; ②事件B发生,事件A不发生; ③事件A、B同时发生. 即事件A、B至少有一个发生. 事件A与事件B的并事件等于事件B与事件A的并事件.即A∪B=B∪A. 例如:在投掷骰子的试验中,事件C、D分别表示投掷骰子出现1点、5点,则C∪D={出现1点或5点}. 4、交(积)事件 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生,则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件),记作A∩B(或AB). 交(积)事件与两个集合的交集类似,交事件A∩B(或AB)可用下图表示.
事件A与事件B的交事件等于事件B与事件A的交事件,即A∩B=B∩A. 例如:在投掷骰子的试验中,{出现的点数大于3}∩{出现的点数小于5}={出现的点数为4}. 5、互斥事件 若A∩B为不可能事件,即A∩B= 思考:如何判断两个事件互斥? 探究:在任何条件下都不可能同时发生的事件才是互斥事件. 互斥事件与集合的关系: 与两个集合类似,互斥事件可用下图表示.
(1)A、B互斥是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生; (2)如果A与B是互斥事件,那么A与B两个事件同时发生的概率为0; (3)推广:如果事件A1,A2,…,An中的任何两个事件互斥,就称事件A1,A2,…,An彼此互斥.从集合角度看,n个事件互斥是指各个事件所含结果的集合彼此不相交. 例如:在投掷骰子的试验中,若 C1={出现1点},C2={出现2点},C3={出现3点}, C4={出现4点},C5={出现5点},C6={出现6点}, 则事件C1与事件C2互斥,C1,C2,C3,C4,C5,C6彼此互斥. 6、对立事件 若A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,那么事件A与事件B互为对立事件. 对立事件与集合: 与两个集合类似,对立事件可用下图表示.
(1)从集合角度看,事件A的对立事件,是全集中由事件A所包含结果组成的集合的补集;例如:在投掷骰子的试验中,C={出现2点},则C的对立事件是D={出现1,3,4,5,6点}. (2)事件A、B对立是指事件A与事件B在一次试验中有且仅有一个发生.事件A与事件B在一次试验中不会同时发生. (3)对立事件是针对两个事件来说的,一般地,两个事件对立,则两个事件必为互斥事件,反之,两个事件是互斥事件,但未必是对立事件. (4)对立事件是一种特殊的互斥事件,若A与B是对立事件,则A与B互斥且A∪B(或A+B)为必然事件. (5)在一次试验中,事件A与它的对立事件只能发生其中之一,并且也必然发生其中之一. 初中和高中九科名师视频课程免费试听1200分钟 高一视频 高一全科强化班辅导视频 免费听课![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() (二)概率的几个基本性质 1、概率P(A)的取值范围 由于事件的频数总小于或等于试验的次数,所以频率在0到1之间,从而任何事件的概率都在0到1之间,即0≤P(A)≤1. 联想・引申: (1)必然事件B一定发生,则P(B)=1; (2)不可能事件C一定不发生,则P(C)=0; (3)若A 2、概率的加法公式 当事件A与B事件互斥时,A∪B发生的频数等于A发生的频数与B发生的频数之和,从而A∪B的频率fn(A∪B)=fn(A)+fn(B),则概率的加法公式为: P(A∪B)=P(A)+P(B) 联想・发散: (1)事件A与事件B互斥,如果没有这一条件,加法公式将不能应用. 例如:抛掷一颗骰子,观察掷出点数,记事件A=“出现奇数”,事件B=“出现的点数不超过3”,那么A与B就不互斥.因为如果出现1或3,就表示A与B同时发生了.事件A∪B包括4种结果:出现1,2,3和5,因而P(A∪B)= (2)如果事件A1,A2,…,An彼此互斥,那么P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An),即彼此互斥事件的概率等于各事件概率的和; (3)在求某些稍复杂的事件的概率时,可将其分解成一些概率较易求的彼此互斥的事件,化整为零,化难为易. 3、对立事件的概率公式 若事件A与事件B为对立事件,则A∪B为必然事件,所以P(A∪B)=1,又P(A∪B)=P(A)+P(B),故P(A)=1-P(B). 注:两个互斥事件不一定是对立事件,而两个对立事件一定是互斥事件,即两个事件对立是这两个事件互斥的充分不必要条件. 二、例题讲解: 例1、判断下列事件是否是对立事件,是否是互斥事件. 从扑克牌40张(黑红梅方各10张)中任取一张. (1)抽出的是红桃与抽出的是黑桃; (2)抽出的红色牌与抽出的是黑色牌; (3)抽出的牌点数为5的倍数与抽出的牌点数大于9. 答案:互斥不对立,互斥对立,不互斥不对立 例2、福娃是北京2008年第29届奥运会吉祥物,每组福娃都由“贝贝”、“晶晶”、“欢欢”、“迎迎”和“妮妮”这五个福娃组成.甲、乙两位好友分别从同一组福娃中各随机选择一个福娃留作纪念,按先甲选再乙选的顺序不放回地选择,则在这两位好友所选择的福娃中,“贝贝”和“晶晶”恰好只有一个被选中的概率为________. 例3、某地区的年降水量在下列范围内的概率如下表所示: 年降水量 (单位:mm) [100,150) [150,200) [200,250) [250,300) 概率 0.12 0.25 0.16 0.14 (1)求年降水量在[100,200)(mm)内的概率; (2)求年降水量在[150,300)(mm)内的概率. 解: (1)记这个地区的年降水量在 (2)年降水量在[150,300)(mm)范围内的概率是 ∴年降水量在[150,300)(mm)范围内的概率是0.55. 例4、某工厂的产品中,出现二级品的概率是0.07,出现三级品的概率是0.03,其余都是一级品和次品,并且一级品数量是次品的9倍,求出现一级品的概率. 解: 设出现一级品的概率是P(A),因为一级品数量是次品的9倍,故出现一级品的概率也是次品的概率的9倍,出现次品的概率为 ∴出现一级品的概率是0.81. 例5、同时抛掷两个骰子(各个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6).计算: (1)向上的数相同的概率; (2)向上的数之积为偶数的概率. 解: 每掷一个骰子都有6种情况,所以同时掷两个骰子总的结果数为6×6=36种. (1)向上的数相同的结果有6种,故其概率为 (2)向上的数之积为偶数的情况比较多,可以先考虑其对立事件,即向上的数之积为奇数.向上的数之积为奇数的基本事件有:(1,1),(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),(5,1),(5,3),(5,5),共9个,故向上的数之积为奇数的概率为 根据对立事件的性质知,向上的数之积为偶数的概率为 例6、射手在一次射击训练中,射中10环、9环、8环、7环的概率分别为0.21、0.23、0.25、0.28,计算这个射手在一次射击中: (1)射中10环或7环的概率; (2)不够7环的概率. 解: (1)记:“射中10环”为事件A,记“射中7环”为事件B,由于在一次射击中,A与B不可能同时发生,故A与B是互斥事件.“射中10环或7环”的事件为A+B, 故P(A+B)=P(A)+P(B)=0.21+0.28=0.49. (2)记“不够7环”为事件E,则事件 ∴ 从而P(E)=1- ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]()
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