互斥事件 \color{red}\textbf{互斥事件} 互斥事件 事件A和B的交集为空，A与B就是互斥事件，也叫互不相容事件。也可叙述为：不可能同时发生的事件。如A∩B为不可能事件（A∩B=Φ），那么称事件A与事件B互斥，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生。

则P(A+B)=P(A)+P(B)（这个公式何时成立在我一面thu叉院的时候被问到过，我神tm就答了一个相互独立/(ㄒoㄒ)/~~）且P(A)+P(B)≤1

对立事件 \color{red}\textbf{对立事件} 对立事件

若A交B为不可能事件，A并B为必然事件，那么称A事件与事件B互为对立事件，其含义是：事件A和事件B必有一个且仅有一个发生。

对立事件概率之间的关系：P(A)+P(B)=1。例如，在掷骰子试验中，A={出现的点数为偶数}，b={出现的点数为奇数}，A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，所以A与B互为对立事件。

互斥事件与对立事件两者的联系在于：对立事件属于一种特殊的互斥事件。

它们的区别可以通过定义看出来：一个事件本身与其对立事件的并集等于总的样本空间；而若两个事件互为互斥事件，表明一者发生则另一者必然不发生，但不强调它们的并集是整个样本空间。即对立必然互斥，互斥不一定会对立。

独立事件 \color{red}\textbf{独立事件} 独立事件

设A,B是试验E的两个事件,若 P ( A ) > 0 P(A)>0 P(A)>0,可以定义 P ( B ∣ A ) P(B∣A) P(B∣A).一般A的发生对B发生的概率是有影响的,所以条件概率 P ( B ∣ A ) ≠ P ( B ) P(B∣A)≠P(B) P(B∣A)​=P(B),而只有当A的发生对B发生的概率没有影响的时候（即A与B相互独立）才有条件概率 P ( B ∣ A ) = P ( B ) P(B∣A)=P(B) P(B∣A)=P(B).这时,由乘法定理 P ( A ∩ B ) = P ( B ∣ A ) P ( A ) = P ( A ) P ( B ) . P(A∩B)=P(B∣A)P(A)=P(A)P(B). P(A∩B)=P(B∣A)P(A)=P(A)P(B).

定义:设A,B是两事件,如果满足等式 P ( A ∩ B ) = P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) P(A∩B)=P(AB)=P(A)P(B) P(A∩B)=P(AB)=P(A)P(B),则称事件A,B相互独立,简称A,B独立.

容易推广:设A,B,C是三个事件,如果满足 P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) P(AB)=P(A)P(B) P(AB)=P(A)P(B), P ( B C ) = P ( B ) P ( C ) P(BC)=P(B)P(C) P(BC)=P(B)P(C), P ( A C ) = P ( A ) P ( C ) P(AC)=P(A)P(C) P(AC)=P(A)P(C), P ( A B C ) = P ( A ) P ( B ) P ( C ) P(ABC)=P(A)P(B)P(C) P(ABC)=P(A)P(B)P(C),则称事件A,B,C相互独立

更一般的定义是, A 1 , A 2 , … … , A n A1,A2,……,An A1,A2,……,An是 n ( n ≥ 2 ) n(n≥2) n(n≥2)个事件,如果对于其中任意2个,任意3个,…任意n个事件的积事件的概率,都等于各个事件概率之积,则称事件 A 1 , A 2 , … , A n A1,A2,…,An A1,A2,…,An相互独立

概率公理与条件概率 \color{red}\textbf{概率公理与条件概率} 概率公理与条件概率

什么是概率？设实验E的样本空间为 Ω \Omega Ω，则称实值函数 P P P为概率，如果 P P P满足下列三个条件

什么是条件概率？设 A , B A,B A,B为两个事件，且 P ( A ) > 0 P(A)>0 P(A)>0，称 P ( B ∣ A ) = P ( A B ) P ( A ) P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)} P(B∣A)=P(A)P(AB)​ 为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。

五大概率公式 \color{red}\textbf{五大概率公式} 五大概率公式

古典型-能通过样本点数出来的概率 \color{red}\textbf{古典型-能通过样本点数出来的概率} 古典型-能通过样本点数出来的概率

几何型：通过几何度量计算的概率 \color{red}\textbf{几何型：通过几何度量计算的概率} 几何型：通过几何度量计算的概率 伯努利试验：独立重复实验 \color{red}\textbf{伯努利试验：独立重复实验} 伯努利试验：独立重复实验

伯努利试验（Bernoulli experiment）是在同样的条件下重复地、相互独立地进行的一种随机试验，其特点是该随机试验只有两种可能结果：发生或者不发生。我们假设该项试验独立重复地进行了n次，那么就称这一系列重复独立的随机试验为n重伯努利试验，或称为伯努利概型。单个伯努利试验是没有多大意义的，然而，当我们反复进行伯努利试验，去观察这些试验有多少是成功的，多少是失败的，事情就变得有意义了，这些累计记录包含了很多潜在的非常有用的信息。

随机变量 \color{red}\textbf{随机变量} 随机变量 在样本空间 Ω \Omega Ω上的实值函数 X = X ( ω ) , ω ∈ Ω X=X(\omega),\omega\in\Omega X=X(ω),ω∈Ω称为随机变量，简记为 X X X。随机变量不是一个变量，而是实值函数。 分布函数 \color{red}\textbf{分布函数} 分布函数

分布函数（英文Cumulative Distribution Function, 简称CDF），是概率统计中重要的函数，正是通过它，可用数学分析的方法来研究随机变量。分布函数是随机变量最重要的概率特征，分布函数可以完整地描述随机变量的统计规律，并且决定随机变量的一切其他概率特征。

分布函数 F ( x ) F(x) F(x)是定义在 ( − ∞ , ∞ ) (-\infty,\infty) (−∞,∞)上的一个实值函数， F ( x ) F(x) F(x)的值等于随机变量 X X X在区间 ( − ∞ , x ] (-\infty,x] (−∞,x]上取值的概率，即事件 X ≤ x X\leq x X≤x的概率： F ( x ) = P ( X ≤ x ) , x ∈ ( − ∞ , ∞ ) \color{blue}F(x)=P(X\leq x),x\in (-\infty,\infty) F(x)=P(X≤x),x∈(−∞,∞)

分布函数的性质主要有三条，单调不减，负无穷收敛到0 lim ⁡ x → + ∞ F ( x ) = 1 \lim_{x\rightarrow+\infty} F(x)=1 limx→+∞​F(x)=1，正无穷收敛到1。右连续性 F ( x + 0 ) = F ( x ) F(x+0)=F(x) F(x+0)=F(x).

这三个条件同样是 F ( x ) F(x) F(x)成为某一随机变量的分布函数的充分必要条件。

分布函数的定义对于离散型随机变量和连续型随机变量都是一致的，但是对于连续型随机变量而言，他还有概率密度

把随机变量的概率分布表推广到无限情况，就可以得到连续型随机变量的概率密度函数。 此时，随机变量取每个具体的值的概率为0，但在落在每一点处的概率是有相对大小的，描述这个概念的，就是概率密度函数。 你可以把这个想象成一个实心物体，在每一点处质量为0，但是有密度，即有相对质量大小，他有以下两条主要的性质。

伯努利分布（0-1分布） \color{red}\textbf{伯努利分布（0-1分布）} 伯努利分布（0-1分布） 0 — 1 0—1 0—1分布就是 n = 1 n=1 n=1情况下的二项分布。即只先进行一次事件试验，该事件发生的概率为 p p p，不发生的概率为 1 − p 1-p 1−p。这是一个最简单的分布，任何一个只有两种结果的随机现象都服从 0 − 1 0-1 0−1分布。

二项分布 \color{red}\textbf{二项分布} 二项分布

一般地，如果随机变量 X X X有分布律 则称 X X X服从参数为 n n n和 p p p的二项分布，我们记为 X ∼ B ( n , p ) X\thicksim B(n,p) X∼B(n,p)或 X ∼ b ( n , p ) X\thicksim b(n,p) X∼b(n,p)。

含义：在 n n n次独立重复的伯努利试验中，若每次实验的成功率为 p p p，则在 n n n次独立重复实验种成功的总次数 X X X服从二项分布。当 n = 1 n=1 n=1时，二项分布退化为 0 − 1 0-1 0−1分布。 几何分布 \color{red}\textbf{几何分布} 几何分布 如果随机变量 X X X的分布律为： 则称 X X X服从参数为 p p p的几何分布。

含义：在 n n n次伯努利试验中，试验 k k k次才得到第一次成功的机率服从几何分布 超几何分布 \color{red}\textbf{超几何分布} 超几何分布 如果随机变量 X X X的分布律为： 则称 X X X服从参数为 n ， N ， M n，N，M n，N，M的超几何分布。

含义：如果 N N N件产品中含有 M M M件次品，从中任意一次取出 n n n件（不放回依次取出 n n n件），另 X X X=抽取的 n n n件产品中的次品件数，则 X X X服从参数为 n ， N ， M n，N，M n，N，M的超几何分布。

如果有放回的取 n n n次，那么服从 B ( N , M N ) B(N,\frac{M}{N}) B(N,NM​)。

泊松分布 \color{red}\textbf{泊松分布} 泊松分布 如果随机变量 X X X的分布律为： 则称 X X X服从参数为 λ \lambda λ的泊松分布，记为 X ∼ P ( λ ) X\thicksim P(\lambda) X∼P(λ)。

泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生次数。 泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。

在实际事例中，当一个随机事件，例如某电话交换台收到的呼叫、来到某公共汽车站的乘客、某放射性物质发射出的粒子、显微镜下某区域中的白血球等等，以固定的平均瞬时速率 λ λ λ（或称密度）随机且独立地出现时，那么这个事件在单位时间（面积或体积）内出现的次数或个数就近似地服从泊松分布 P ( λ ) P(λ) P(λ)。 指数分布 \color{red}\textbf{指数分布} 指数分布 连续型均匀分布：如果连续型随机变量 X X X具有如下的概率密度函数， 则称 X X X服从 [ a , b ] [a,b] [a,b]上的均匀分布（uniform distribution），记为 X ∼ U ( a , b ) X\thicksim U(a,b) X∼U(a,b)。

正态分布 \color{red}\textbf{正态分布} 正态分布 如果随机变量 X X X的概率密度为： 其中 μ , σ \mu,\sigma μ,σ为常数而且 σ > 0 \sigma>0 σ>0，则称 X X X服从参数为 μ , σ \mu,\sigma μ,σ的正态分布，记作 X ∼ N ( μ , σ 2 ) X\thicksim N(\mu,\sigma^2) X∼N(μ,σ2)。当 μ = 0 , σ 2 = 1 \mu=0,\sigma^2=1 μ=0,σ2=1时，称 X X X服从标准正态分布。

二维随机变量 \color{red}\textbf{二维随机变量} 二维随机变量 设 X = X ( = ω ) X=X(=\omega) X=X(=ω)， Y = Y ( ω ) Y=Y(\omega) Y=Y(ω)是定义在样本空间 Ω \Omega Ω上的两个随机变量，则称向量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)为二维随机变量或者随机向量。 二维随机变量的分布 \color{red}\textbf{二维随机变量的分布} 二维随机变量的分布 F ( x , y ) = P ( X ≤ x , Y ≤ y ) F(x,y)=P(X\leq x,Y\leq y) F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)，该分布具有如下的性质