随机变量X的函数服从什么分布？

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随机变量X的函数服从什么分布？

2024-06-22 07:49| 来源: 网络整理| 查看: 265

这篇博客主要回答以下几个问题：

随机变量X的函数服从什么分布？ ---i.e. 怎么求该函数的概率密度函数它们的反函数又服从什么分布？之前学的各种连续分布之间又有什么关系？

各种分布之间的关系

离散分布

连续分布

连续随机变量函数的分布

分布函数的反函数

习题讲解

对于离散型随机变量，可用分布列来表示它的分布，连续型随机变量，则是用概率密度函数来描述它的分布。所以对于任何一个随机变量，求出它的概率密度函数/分布列就相当于能知道它服从什么分布。

各种分布之间的关系

先来回顾一部分知识

离散分布

回顾：常用离散分布

当 $n\rightarrow +\infty$ 时，二项分布可以用泊松分布来近似【泊松定理】当 $n N$ 【n 远远小于N】, 超几何分布 $h\left ( n,N,M \right )$ 可用二项分布 $b\left ( n, \frac{M}{N} \right )$ 近似r=1时的负二项分布 $Nb\left ( r,p \right )$ 为几何分布，即 $Nb\left ( 1,p \right ) =Ge\left ( p \right )$

指数分布与几何分布都有“无记忆性”

连续分布

回顾 :常用连续分布

若X服从伽马分布 $Ga\left ( \alpha ,\lambda \right )$ ,则当 $k 0$ 时，有 $Y=kX\sim Ga\left ( \alpha ,\lambda /k \right )$ 伽马分布与指数分布： $Ga\left ( 1,\lambda \right )=Exp\left ( \lambda \right )$

若 $X\sim Ga\left ( k,\lambda \right )$ ,则 $X= X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{k}$ ,其中 $X_{i}\sim Exp\left ( \lambda \right ),\: i=1,2,...,k$ 【独立同分布】；

若形状参数为整数k,则伽马变量可以表示成k个独立同分布的指数变量之和

伽马分布与卡方分布：

$\alpha =\frac{n}{2};\: \lambda =\frac{1}{2}$ 的伽马分布就是自由度为n的卡方分布，即 $Ga\left ( \frac{n}{2} ,\frac{1}{2}\right )=\chi ^{2}(n)$

正态分布与卡方分布：

若 $X_{1}, X_{2},...,X_{n}\: \: \textup{i.i.d}\sim N\left ( 0,1 \right )$ ，则 $X= \sum_{i=1}^{n}X_{i}\sim \chi ^{2}\left ( n \right )$

贝塔分布与均匀分布： $Be\left ( 1,1 \right )=U\left ( 0,1 \right )$

当 $a=b=1$ 时的贝塔分布就是区间（0，1）上的均匀分布。

对数正态分布 $Ln\left ( \mu ,\sigma ^{2} \right )$ 与正态分布 $N\left ( \mu ,\sigma ^{2} \right )$ 的关系：若 $X\sim Ln\left ( \mu ,\sigma ^{2} \right )$ ，则 $Y=\textup{Ln} \left (X \right )\sim N\left ( \mu ,\sigma ^{2} \right )$ 。正态分布的性质：正态变量的线性变换仍为正态变量，即

若 $X \sim N\left ( \mu ,\sigma ^{2} \right )$ ，则当 $a\not\equiv 0$ 时，有 $Y= aX+b\sim N\left ( a\mu +b\: ,\: a^{2}\sigma^{2} \right )$ .

连续随机变量函数的分布

设连续随机变量X的密度函数 $p_{X}\left ( x\right ),\: Y=g\left ( X \right ).$

( 1 ) 若 $y=g\left ( x \right )$ 严格单调，其反函数 $h\left ( y \right )$ 有连续导函数，则 $Y=g\left ( X \right )$ 的密度函数为

$p_{_{Y}} \left ( y \right ) = \begin{Bmatrix} p_{_{X}} \left [ h\left ( y \right ) \right ] \left | \: h{}'\left ( y \right ) \: \right | ,\: a y b \\ 0,\: otherwise \end{matrix}$

其中 $a= \textup{min} \: \left \{\, g\left ( -\infty \right ),g\left ( +\infty \right ) \right \} , \: b = \textup{max} \, \left \{ g\left ( -\infty \right ),g\left ( +\infty \right ) \right \}$

( 2 ) 若 $y=g\left ( x \right )$ 在不相重叠的区间 $I_{1}\, ,I_{2}\,,\cdots$ 上逐段严格单调，其反函数 $h_{1}\left ( y \right ),\, h_{2}\left ( y \right ),\, \cdots$ 有连续导函数，则 $Y=g\left ( X \right )$ 的密度函数为 $p_{_{Y}}= \sum_{i}p_{X}\left ( h_{i}\left ( y \right ) \right )\left | h{}'_{i} \left ( y \right )\right |$ ..

分布函数的反函数

若X的分布函数 $F_{X}\left ( x \right )$ 为严格单调增的连续函数，其反函数 $F_{X}^{-1}\left ( y \right )$ 存在，则 $Y=F_{X}\left ( X \right )$ 服从（0，1）上的均匀分布 $U\left ( 0,1 \right )$ .