基于MATLAB的卡方分布，瑞利分布，T与F分布（附完整代码与例题）

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基于MATLAB的卡方分布，瑞利分布，T与F分布（附完整代码与例题）

2024-07-16 10:45| 来源: 网络整理| 查看: 265

一. 卡方分布 1.1 数学理论

首先我们来看下伽玛分布的概率密度函数：

$P_\Gamma(x)=\begin{cases} \frac{\lambda^ax^{a-1}}{\Gamma(a)}e^{-\lambda x},\quad &x\geq 0 \\ 0,\quad &x0 \end{cases}$

其中：

$\Gamma(a)=\int_0^\infty x^{a-1}e^{-x}dx$

令 $a=k/2,\lambda=1/2$ ，就可以得到一个新的分布，这个分布在概率论上被叫做卡方分布。卡方分布也可以写做 $\mathcal{X}^2$ 分布。其概率密度函数则为：

$P(x)=\begin{cases} \frac{1}{2^{\frac{k}{2}}\Gamma(\frac{k}{2})}x^{\frac{k}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}},\quad &x\geq 0 \\ 0,\quad &x0 \end{cases}$

卡方分布要求参数k为正整数。

1.2 MATLAB函数 y=chi2pdf(x,k) %卡方分布概率密度函数 F=chi2cdf(x,k) %卡方分布概率分布函数 x=chi2inv(F,k) %逆卡方分布概率分布函数

有关概率密度函数和概率分布函数的区别，可以看这篇博客：

基于MATLAB的泊松分布，正态分布与伽玛分布（附完整代码与例题）-CSDN博客

1.3 例题

分别绘制出k为1,2,3,4,5时 $\mathcal{X}^2$ 分布的概率密度函数与分布函数曲线。

MATLAB代码：

x=[-eps:-0.02:-0.5,0:0.02:2]; %画图x轴，其中0.02代表画点间隔 x=sort(x'); %对列向量x'进行升序排列 k1=[1,2,3,4,5]; y1=[]; y2=[]; for i=1:length(k1) y1=[y1,chi2pdf(x,k1(i))]; y2=[y2,chi2cdf(x,k1(i))]; end plot(x,y1), figure; plot(x,y2)

概率密度函数：

分布函数曲线：

二. T分布 2.1 数学理论

T分布的概率密度函数为：

$p(x)=\frac{\Gamma(\frac{k+1}{2})}{\sqrt{k\pi}\Gamma(\frac{k}{2})}(1+\frac{x^2}{k})^{-\frac{k+1}{2}}$

其中k为参数，且要求k为正整数。

2.2 MATLAB函数 y=tpdf(x,k) %T分布概率密度函数 F=tcdf(x,k) %T分布概率分布函数 x=tinv(F,k) %逆T分布概率分布函数 2.3 例题

分别绘制出k为1,2,5,10时T分布的概率密度函数与分布函数曲线。

MATLAB代码：

x=[-5:0.02:5]'; k1=[1,2,5,10]; y1=[]; y2=[]; for i=1:length(k1) y1=[y1,tpdf(x,k1(i))]; y2=[y2,tcdf(x,k1(i))]; end plot(x,y1), figure; plot(x,y2)

运行结果：

三. 瑞利分布(Rayleigh分布） 3.1 数学理论

Rayleigh分布的概率密度函数为：

$p(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{x}{b^2}e^{-\frac{x^2}{2b^2}}\quad &x\geq 0\\ 0&x0 \end{matrix}\right.$

3.2 MATLAB函数 y=raylpdf(x,b) %瑞利分布概率密度函数 F=raylcdf(x,b) %瑞利分布概率分布函数 x=raylinv(F,b) %逆瑞利分布概率分布函数 3.3 例题

分别绘制b=0.5,1,3,5时Rayleigh分布的概率密度函数与分布函数曲线。

MATLAB代码：

x=[-eps:-0.02:-0.5,0:0.02:5]; x=sort(x'); b1=[.5,1,3,5]; y1=[]; y2=[]; for i=1:length(b1) y1=[y1,raylpdf(x,b1(i))]; y2=[y2,raylcdf(x,b1(i))]; end plot(x,y1), figure; plot(x,y2)

运行结果：

四. F分布 4.1 数学理论

F分布的概率密度函数为：

$p(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{\Gamma(\frac{p+q}{2})}{\Gamma(\frac{p}{2})\Gamma(\frac{q}{2})}p^{\frac{p}{2}}q^{\frac{q}{2}} x^{\frac{p}{2}-1}(p+qx)^{-\frac{p+q}{2}}& x\geq 0\\ 0 & x0 \end{matrix}\right.$

其中p和q均为参数，且为正整数。

4.2 MATLAB函数 y=fpdf(x,p,q) %F分布概率密度函数 F=fcdf(x,p,q) %F分布概率分布函数 x=flinv(F,p.q) %逆F分布概率分布函数 4.3 例题

分别绘制(p,q)为(1,1),(2,1),(3,1),(3,2),(4,1)时F分布的概率密度函数与分布函数曲线。

MATLAB代码：

x=[-eps:-0.02:-0.5,0:0.02:1]; x=sort(x'); p1=[1 2 3 3 4]; q1=[1 1 1 2 1]; y1=[]; y2=[]; for i=1:length(p1) y1=[y1,fpdf(x,p1(i),q1(i))]; y2=[y2,fcdf(x,p1(i),q1(i))]; end plot(x,y1), figure; plot(x,y2)

运行结果：