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(共29张PPT)第 3 章圆锥曲线的方程3.1.1 椭圆及其标准方程1.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程．(重点)2.掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．(重点)3.理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．(难点)学习目标我们知道，用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口曲线(截面与圆锥侧面的交线)是一个圆. 如果改变圆锥的轴与截平面所成的角，那么会得到怎样的曲线呢 如图，用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线和双曲线. 我们通常把椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线.椭圆是圆锥曲线的一种具有丰富的几何性质，在科研生产和人类生活中具有广泛的应用，那么椭圆到底有怎样的几何性质，我们该如何利用这些特征建立椭圆的方程，从而为研究椭圆的几何性质奠定基础。问题背景与思考一、椭圆的定义探究 取一条定长的细绳, 把它的两端都固定在图板的同一点,套上铅笔, 拉紧绳子, 移动笔尖, 这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆. 如果把细绳的两端拉开一段距离, 分别固定在图板的两点F1, F2, 套上铅笔, 拉紧绳子, 移动笔尖, 画出的轨迹是什么曲线 在这一过程中, 移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么 通过动画演示可知，画出的轨迹是椭圆.在这一过程中, 移动的笔尖(动点)满足的几何条件是：移动的笔尖M(动点)到固定在图板上的两定点F1, F2的距离之和是定值, 并且这个定值大于两定点间的距离，即由此可得椭圆的定义.一、椭圆的定义平面内与两个定点F1, F2的距离的和等于常数(大于|F1F2 |)的点的轨迹叫椭圆. 这两个定点F1, F2叫做椭圆的焦点，两焦点之间的距离| F1F2|叫做椭圆的焦距. 焦距的一半称为半焦距.椭圆的定义:思考 动点的轨迹是椭圆应满足什么条件？② 动点M到两个定点F1, F2的距离之和是常数；动点M的轨迹是线段F1F2 ；动点M没有轨迹 .① 在平面内----(这是前提条件)；当|MF1|+|MF2|=|F1F2|时：当|MF1|+|MF2|一、椭圆的定义椭圆的定义集合表示:椭圆的光学性质：从F1（F2）发出的光线，经椭圆反射后聚焦于点F2（F1）.定义中的“常数”通常用2a表示，焦距用2c表示，故2a>2c>0，即a>c>0,因此，椭圆的定义可以用集合表示为：｛M||MF1|+|MF2|=2a｝,其中|F1F2|=2c，a>c>0(1)已知A(-3,0),B(3,0),M点到A,B两点的距离和为10,则M点的轨迹是什么 (2)已知A(-3,0),B(3,0),M点到A,B两点的距离和为6,则M点的轨迹是什么 (3)已知A(-3,0),B(3,0),M点到A,B两点的距离和为5,则M点的轨迹是什么 椭圆线段AB不存在椭圆定义的限制条件：|MF1|+|MF2|=2a>|F1F2|=2c>0F1F2M

xyO如图示, 建立平面直角坐标系.设M(x,y)是椭圆上任一点, 椭圆的焦距为2c(c>0), M与F1, F2的距离的和等于常数2a(a>0), 则(x,y)由定义知：化简整理得由椭圆定义知：为了使方程形式更简单：①我们把方程①叫做椭圆的标准方程.二. 椭圆的标准方程上式两边同除以a2(a2-c2)得设a2-c2=b2(b>0),则方程形式变为二. 椭圆的标准方程椭圆的标准方程:如图示, 若椭圆的焦点在x轴上, 则椭圆的标准方程为其中焦点坐标为F1(－c,0), F2(c,0), c2＝a2－b2.F1F2M

xyO(x,y)思考1 观察图, 你能从中找出表示a,b,c的线段吗？F1F2P

xyO由图可知，abc思考2 如图示, 如果焦点F1, F2在y轴上, 且F1, F2的坐标分别为(0,－c), (0, c), a, b的意义同上, 那么椭圆的方程是什么 (焦点在x轴上)(焦点在y轴上)二. 椭圆的标准方程定义 焦点位置图形方程特点 共同点 不同点F1F2M

xyOF1F2M

xyO焦点在x轴上焦点在y轴上a>b>0,且a2=b2+c2焦点坐标F1(-c,0),F2(c,0)方程中的a2是x2的分母焦点坐标F1(0,-c),F2(0,c)方程中的a2是y2的分母二. 椭圆的标准方程解1: (定义法)由于椭圆的焦点在x轴上，且关于O（0，0）对称，故可设椭圆方程为由椭圆的定义知c=2，则故所求椭圆的标准方程为三、题型与方法题型一　求椭圆的标准方程解2: (待定系数法)由于椭圆的焦点在x轴上，且关于O（0，0）对称，故可设椭圆方程为解得故所求椭圆的标准方程为三、题型与方法题型一　求椭圆的标准方程【方法说明】2.用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤：1. 求椭圆标准方程的主要方法有：3.a, b, c 满足的关系有：根据焦点位置设方程，代入计算出待定字母的值.用定义寻找a, b, c的方程；(1) 定义法：(2) 待定系数法：（1）定“位”：即确定焦点的位置；(2)设方程：根据上述判断设方程(3)找关系：根据已知条件建立关于a，b，c(或m，n)的方程组．即求 a, b 的大小 .或整式形式mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)．三、题型与方法三、题型与方法题型一　求椭圆的标准方程跟踪训练：所以c2＝25－9＝16.故a2－b2＝16　 ①.由①②得a2＝36，b2＝20，所以所求椭圆的标准方程为法二：由题意可设所求椭圆的标准方程为解得λ＝11或λ＝－21(舍去)．跟踪训练：题型一　求椭圆的标准方程三、题型与方法解(1)因为椭圆的焦点在x轴上，(2)因为椭圆的焦点在y轴上，设它的标准方程为(3)设椭圆的一般方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．例2. （1）如图，在圆x2+y2=4上任意一点P , 过点P作x轴的垂线段 PD,D为垂足. 当点P在圆上运动时, 线段 PD中点M的轨迹是什么？为什么？三、题型与方法题型二 利用椭圆定义求轨迹方程xyPMO

D

解1：(相关点代入法)设点M的坐标为(x, y)，点P的坐标为(x0, y0)，则点D的坐标为(x0, 0).由点M是线段PD的中点，得∵点P（x0,y0）在圆x2+y2=4上,把x0=x,y0=2y代入上式,得x2+(2y)2=4,即∴x02+y02=4∴点M的轨迹是椭圆。注：寻求动点M的坐标(x,y)中x, y与另一已知动点坐标x0, y0之间的关系,然后消去x0, y0, 得到点M的轨迹方程. 这种方法叫相关点法（代入法）.三、题型与方法题型二 利用椭圆定义求轨迹方程例2. （1）如图，在圆x2+y2=4上任意一点P , 过点P作x轴的垂线段 PD,D为垂足. 当点P在圆上运动时, 线段 PD中点M的轨迹是什么？为什么？xyPMO

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解2：(参数法)设 点M的坐标为(x, y),∵ P 在圆 x2 + y2 = 4 上，∴ 可设P(2cosθ, 2sinθ),由题意有消去参数θ，得∴点M的轨迹是一个椭圆 .标准方程参数方程：参数方程x2＋y2＝r2(x－a)2＋(y－b)2＝r2圆圆椭圆三、题型与方法xyBMOA

解: 设点M (x, y)，由A(-5, 0), B(5, 0)，可得点M的轨迹为除去（-5，0），（5，0）两点的椭圆。三、题型与方法解决与椭圆有关的轨迹问题的三种方法1.直接法：直接法是求轨迹方程的最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件{M|p(M)}直接翻译成x，y的形式，即F(x，y)＝0，然后进行等价变换，化简为f(x，y)＝0.3.相关点法：有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法．　2.定义法：用定义法求椭圆方程的思路是先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义．若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可．三、题型与方法1. 由例2（1）我们发现，可以由圆通过 “压缩”或 “拉伸” 得到椭圆. 由此你能发现椭圆与圆之间的关系吗 2. 由例2（2）我们发现，“平面内的动点到两个定点连线的斜率之积为常数m（-1问题背景三、题型与方法三、题型与方法跟踪训练：1.如图，已知动圆P过定点A(－3，0)，并且在定圆B：(x－3)2＋y2＝64的内部与其内切，求动圆圆心P的轨迹方程．题型二 利用椭圆定义求轨迹方程解：设动圆P和定圆B内切于点M，动圆圆心P到两定点A(－3,0)和B(3,0)的距离之和恰好等于定圆半径，即|PA|＋|PB|＝|PM|＋|PB|＝|BM|＝8>|AB|，所以动圆圆心P的轨迹是以A，B为左、右焦点的椭圆，其中c＝3，a＝4，b2＝a2－c2＝42－32＝7，其轨迹方程为基本轨迹法相关点法三、题型与方法题型三 椭圆中的焦点三角形问题从而|F1F2|＝2c＝2.在△PF1F2中，由余弦定理得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|cos∠PF1F2，即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|.　 ①由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4.　 ②三、题型与方法题型三 椭圆中的焦点三角形问题解（2）∵∠PF1F2＝90°，∴|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2.从而(4－|PF1|)2＝|PF1|2＋4，(1)椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2称为焦点三角形．解关于椭圆的焦点三角形的问题，通常要利用椭圆的定义，再结合正弦定理、余弦定理等知识求解．(2)焦点三角形的常用公式①焦点三角形的周长L＝2a＋2c.②在△PF1F2中，由余弦定理可知|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2.③设P(xP，yP)，焦点三角形的面积三、题型与方法题型三 椭圆中的焦点三角形问题椭圆中的焦点三角形问题解法：三、题型与方法题型三 椭圆中的焦点三角形问题解：由直线AB过椭圆的一个焦点F1，知|AB|＝|F1A|＋|F1B|，所以在△F2AB中，|F2A|＋|F2B|＋|AB|＝4a＝20，又|F2A|＋|F2B|＝12，所以|AB|＝8.8答案：43．椭圆的两焦点为F1(－4,0)、F2(4,0)，点P在椭圆上，若△PF1F2的面积最大为12，则椭圆方程为________．四.小结与练习1、椭圆定义:平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。2、椭圆的标准方程：当堂达标四.小结与练习答案：C答案：D答案：D四.小结与练习当堂达标(－6，－2)∪(3，＋∞)四.小结与练习当堂达标

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