分析 利用椭圆G的离心率为e=$\frac{\sqrt{15}}{4}$,设左顶点A(-a,0),根据圆(x-2)2+y2=$\frac{4}{9}$是椭圆C:$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1(a>b>0)的内接△ABC的内切圆,求出a,b的值,可求椭圆的标准方程; 解答 解:设椭圆C:$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1(a>b>0)的左顶点为A(-a,0),∵e=$\frac{\sqrt{15}}{4}$=$\frac{c}{a}$,得c=$\frac{\sqrt{15}}{4}$a,则b2=a2-c2=$\frac{{a}^{2}}{16}$,即b=$\frac{a}{4}$,由圆G(x-2)2+y2=$\frac{4}{9}$是椭圆C:$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1(a>b>0)的内接△ABC的内切圆,过圆心G作GD⊥AB于D,BC交长轴于H, 则BH=$\sqrt{\frac{{a}^{2}}{16}-\frac{4}{9}}$,AD=$\sqrt{(a+2)^{2}-(\frac{2}{3})^{2}}$,∵$\frac{GD}{AD}=\frac{BH}{AH}$,即$\frac{\frac{2}{3}}{\sqrt{{(a+2)}^{2}-{(\frac{2}{3})}^{2}}}=\frac{\sqrt{\frac{{a}^{2}}{16}-\frac{4}{9}}}{a+2+\frac{2}{3}}$,解得:a=4,∴椭圆的标准方程为:$\frac{x^2}{16}+{y^2}=1$ 点评 本题考查的知识点是椭圆的简单性质,椭圆的方程,本题计算量比较大,属于难题.
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