Qt绘图：求圆和椭圆上任意角度点的坐标

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Qt绘图：求圆和椭圆上任意角度点的坐标

2023-12-22 06:07| 来源: 网络整理| 查看: 265

（2021-02-11 之前把笛卡尔坐标的 x 和 y 标注反了，已修正）

（2023-07-18 之前把旋转矩阵坐标算错了，已修正）

0.圆相关公式

在笛卡尔坐标系上，一个标准的圆是这样的：

已知圆心坐标（x0，y0），半径 R，角度 a，则圆边上点（x'，y'）的坐标为：

C 的三角函数参数为弧度，转换如下：

角度转弧度： $radian =\frac{\pi \cdot angle}{180}$

弧度转角度： $angle =\frac{180 \cdot radian }{\pi}$

但我们知道，Qt 绘图是屏幕坐标系，起点在左上角，以右下角为正方向：

（可以把计算后的 y 取反来得到想要的效果）

运行结果：

1.椭圆相关公式

在笛卡尔坐标系上，一个标准的椭圆是这样的：

已知圆心坐标（x0，y0），横轴 A（长半轴），竖轴 B（短半轴），角度 a，则圆边上点（x'，y'）的坐标为：

椭圆半径：

（可以发现，与普通圆相比，不考虑椭圆角度的话只是半径变化了，其他部分是一样的）

void MainWindow::paintEvent(QPaintEvent *event) { event->accept(); QPainter painter(this); painter.setPen(QPen(Qt::red,2)); //移动坐标中心点到窗口中心，默认左上角为起点，往右下为正方向 painter.translate(width()/2,height()/2); //画一个圆，圆心为起点（上一步移动到的正中），半径100px const int A=150; //横轴 const int B=100; //竖轴 painter.drawEllipse(QPoint(0,0),A,B); //计算45度角圆边上的点，角度需要转换为弧度 const double a=qDegreesToRadians((double)45); const int R=A*B/sqrt(pow(A*sin(a),2)+pow(B*cos(a),2)); //计算对应角度的半径 const int x=0+R*cos(a); const int y=0+R*sin(a); //因为屏幕坐标系y轴正方向和笛卡尔坐标系相反，所以y取反就是我们要的结果了 painter.drawLine(QPoint(0,0),QPoint(x,-y)); //y取反 }

运行结果：

2.旋转矩阵

上面的角度都是从右侧开始，椭圆也是标准椭圆，如果我们想旋转一定角度来绘制，就需要用到我们的旋转矩阵了。

（本节主要来自参考博客）

已知 A(x,y) ，求旋转 a 角度后的 B(x’,y’) 坐标：

在这里插入图片描述

公式推导：

在这里插入图片描述

根据矩阵乘法计算规则，可以推出：

在这里插入图片描述

操作流程：

把图形的各点平移，令旋转中心平移至原点；乘以旋转矩阵；再平移至原来的旋转中心。

在这里插入图片描述

我们将上面椭圆的代码改一下，逆时针旋转 45 度：

void MainWindow::paintEvent(QPaintEvent *event) { event->accept(); QPainter painter(this); painter.setPen(QPen(Qt::red,2)); //移动坐标中心点到窗口中心，默认左上角为起点，往右下为正方向 painter.translate(width()/2,height()/2); //画一个圆，圆心为起点（上一步移动到的正中），半径100px const int A=150; //横轴 const int B=100; //竖轴 painter.rotate(-45); //在屏幕坐标系，qpainter是顺时针转的 painter.drawEllipse(QPoint(0,0),A,B); painter.rotate(45); //计算45度角圆边上的点，角度需要转换为弧度 const double a=qDegreesToRadians((double)45); const int R=A*B/sqrt(pow(A*sin(a),2)+pow(B*cos(a),2)); //计算对应角度的半径 const int x=0+R*cos(a); const int y=0+R*sin(a); //根据旋转矩阵计算 const double a2=qDegreesToRadians((double)45); const int x2=x*cos(a2)-y*sin(a2); const int y2=x*sin(a2)+y*cos(a2); //因为屏幕坐标系y轴正方向和笛卡尔坐标系相反，所以y取反就是我们要的结果了 painter.drawLine(QPoint(0,0),QPoint(x2,-y2)); //y取反 }

运行结果：

（第一次计算的角度坐标是计算标准椭圆下的位置，第二次是根据椭圆的旋转角度做旋转得到的坐标）

（本来就有 45 度，从右侧逆时针旋转，再旋转 45 度就成了垂直向上了）

（虽然线可以直接 QPainter 旋转的方式绘制，但是这样文本也旋转了）

3.参考

博客（圆和椭圆坐标）：求圆和椭圆上任意角度的点的坐标_椭圆上任意角度点的坐标_xiamentingtao的博客-CSDN博客

博客（椭圆坐标）：【C#】根据椭圆边框和任意角度计算椭圆二维坐标_c# 椭圆角度求半径_少莫千华的博客-CSDN博客

博客（二维旋转矩阵）：二维旋转矩阵推导_whoNamedCody的博客-CSDN博客

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