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第一期:蒙日圆(双切同构)(你所在的位置)

        发现上次的蒙日圆写得太粗糙了之后,我也是比较快(? 的把它给重置了一下.

        希望Remake版本读起来更好吧.

        本期的蒙日圆只讨论了椭圆的,其余圆锥曲线的相关结论可跳转"后记"部分查看.

        圆锥曲线,一直被大家尊称为"圆神"(也许可能只有我这么叫吧),这可见得圆锥曲线的地位.而对于圆曲,其不仅仅有较大的二次及以上的计算量,实际上在计算过程中的一些中间量往往具有一定的对称性,并且其题目要求的计算结果一般简洁,明了,只能说,不愧是圆神.

        在与圆锥曲线相关的众多计算结果中,有些东西是我们在课本上不学的,但是对于做题而言,了解他们有利于我们对题目思路的获取,甚者可以直接用这些个二级结论来解题.即使用不上,这些个二级结论也拓展了你的视野,了解了更多关于解析几何的思想,这何尝不是一件好事情呢?

        不说废话了,接着我们用一道例题引出今天的二级结论:蒙日圆

一.例题 

例.已知直线,圆,椭圆(a>b>0)的离心率,直线l被圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等.

        (1)求椭圆E的标准方程;

        (2)过圆O上的任意一点P作椭圆E的两条切线,若切线的斜率都存在,求证:两条切线斜率之积为定值.

        有时候圆曲的题是不会给图的,需要准确作图来辅助解答.

二.讲解

        考虑到有些小伙伴们可能对圆曲一无所知而又有提前学习的兴趣,所以关于圆曲的二级结论的前几期会适当书写(1)问步骤,估计过几期就只有"易知该圆曲方程为..."等等简略性话语(悲

        这个(1)问实际上也不是很好做,因为涉及到直线在圆上截得的弦长的求解,那么在此处需要引出求弦长的两种方法:代数法和几何法.

        几何法就不多说了,对于圆来说就是一个圆的垂径定理,大家自行画图完成.代数法反而是我们需要了解到的,因为这里面存在着对任意曲线都成立的弦长公式,这对后面许多问题有大用.

        说这个弦长公式很绝,其实证明它也不过如此.它的具体形式如下:

        已知某曲线与一条斜率已知直线交于两个坐标知道的点,则两点间的距离(即为弦长)的表达式为,其实就是个两点间的距离公式和直线斜率的性质而已.

        那么,联立圆和直线的方程,容易求得,即b²=2.

        又由离心率,解得a²=3.

        那么该椭圆的标准方程为.

        (2)问首先考虑直线斜率不存在或斜率为0的情况,易知两直线垂直,那么我们可以猜这两条切线互相垂直.

        其次考虑到是点P的位置变换引发的图形变化,所以设点P坐标为,其中,且过点P的直线方程为,这个是直线的点斜式方程.

        此处没办法,将该直线方程与椭圆联立,得到.

        整理,得,这是个关于直线和椭圆交点横坐标的方程,由于切点唯一,故该方程只有一实根,即.

        所以整理得,此处我们注意到这个k是对于过点P的切线的斜率k,你简单画个图就知道,过椭圆外一点作椭圆的切线必有两条,所以这是一个关于k的一元二次方程,那么由韦达定理有.

        由,有.

        所以(2)问就酱紫证明完了,希望大家还是下来自行算一下,圆曲只看不做效果甚微啊.

三.结论＆方法:蒙日圆与双切同构

        在证明蒙日圆之前,请先让我介绍一下蒙日圆的概念.

        过圆锥曲线外一点作两条互相垂直的切线,两条切线交点的轨迹是一个圆,这个圆就叫作蒙日圆,又可称为外准圆.需要注意到的是,抛物线的蒙日圆退化为直线,即抛物线的准线.本专栏只求椭圆的蒙日圆的方程,其余性质可跳转至"后记"部分的参考资料中查看.

        那么我们在椭圆外任取一点,过该点的直线方程为.

        同样的,将其与联立,得,这是一个关于切点横坐标的一个一元二次方程.由于一条直线和椭圆只有一个切点,故该方程的.

        由上,得,这是关于切线斜率的一个一元二次方程,由作图知,过椭圆外一点可以作椭圆的两条切线,那么就有.

        所以说,即该椭圆的蒙日圆方程为.

        为了给下期方便提前引入双切同构的思想,此处又要引入一个结论:过椭圆上一点作该椭圆的切线,则该切线方程为,看起来还多显然的,我们就留给读者证明罢.

        依据上述结论,我们对于蒙日圆还有一个有趣的结论,现在让我们来论证一下(其实严格来说这个不是蒙日圆专属,只是有这么一个特殊性罢了).

        我们注意到,过椭圆上的两点作椭圆的切线的方程为和.若二者交于点,即有如下两个方程和.我们再次注意到,若我们视为一个直线方程的话,那么点为该直线上的两点,于是过这两点的直线方程就直接写出来了.

        是的,也就是一个简单的结论,但毕竟这里面蕴含着双切同构的思想,所以请各位读者们自行下来好好体会一下.

        说实话,实际上我所知的的蒙日圆只有小部分关于椭圆的,但有位知网上的博主对圆曲系列的蒙日圆进行了详细介绍,同时他的这篇专栏也是本期专栏部分内容的一个参考资料,此处感谢这位名为"刘金堂"的博主.

参考资料:(未向其授权所以没有引用)

    https://zhuanlan.zhihu.com/p/591258689?utm_id=0 (蒙日圆的定义与方程及结论)

        如果对蒙日圆其余相关结论感兴趣的可以看看.

        看下期圆曲讲什么吧,应该是双切的进一步提升吧.