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参考书目：《计量经济学》、《时间序列分析及应用R语言》、《计量经济学基础》、《计量经济学模型与R语言应用》 上一篇：趋势平稳与差分平稳 下一篇：移动平均MA模型及其可逆性

我们知道若随机时间序列 X t X_t Xt​有如下性质：

①均值 E ( X t ) = μ E(X_{t})=\mu E(Xt​)=μ ,均值是与时间 t t t无关的常数

②方差 V a r ( X t ) = σ 2 Var(X_{t})=\sigma^2 Var(Xt​)=σ2 , 方差是与时间 t t t无关的常数

③协方差 C o v ( X t , X t + k ) = γ k Cov(X_{t},X_{t+k})=\gamma_k Cov(Xt​,Xt+k​)=γk​ ,协方差只与时间间隔 k k k有关.

则称随机时间序列 X t X_t Xt​具有弱平稳型。

此时，如果我们把 X X X的原点从 X t X_t Xt​移到 X t + m X_{t+m} Xt+m​,那么 X t + m X_{t+m} Xt+m​具有和 X t X_t Xt​一样的均值、方差和自协方差。简而言之，如果一个时间序列是平稳的，那么不管在什么时间测量，它的均值、方差和自协方差都保持不变，即它们不随时间而变化。这种平稳的时间序列，有回到其均值的趋势，而且围绕其均值的波动具有大致恒定的振幅。应该指出，一个平稳过程均值复原(即回到均值)的速度取决于其自协方差，自协方差越小速度越快，自协方差越大，速度越慢。

而如果一个过程是非平稳的，那么要么它的均值随着时间变化，要么方差随着时间变化，或者二者同时发生变化。

为什么平稳时间序列如此重要呢？ 因为如果一个序列是非平稳的，那么我们就只能研究其在研究期间的行为，我们无法把它推广到其他期间。因此，从预测的角度来看，如果序列非平稳则没有什么研究价值。

在讨论了平稳时间序列的重要性之后，接下来的一个实际问题就是如何建立一个平稳时间序列的模型，以及如何利用所建的模型进行预铡。与经典回归分析不同的是，我们这里所建立的时间序列模型主要不是以不同变量间的因果关系为基础，而是寻找时间序列自身的变化规律。同样地，在预测一个时间序列未来的变化时，我们不再使用一组与之有因果关系的其他变量，而只是用该序列的过去行为来预测未来。

存在这种用过去行为来预测未来的最简单的例子是一阶自回归模型，简记为 A R ( 1 ) AR(1) AR(1)： Y t = ϕ Y t − 1 + e t (1) Y_t=\phi Y_{t-1} + e_t\tag{1} Yt​=ϕYt−1​+et​(1) 其中 e t e_t et​为白噪声，假设 e t e_t et​独立于 Y t − 1 , Y t − 2 , Y t − 3 , . . . Y_{t-1}, Y_{t-2}, Y_{t-3},... Yt−1​,Yt−2​,Yt−3​,...，假设过程的均值已经被去掉，序列的均值为零.

我们知道只有产生过程是平稳的，用该模型进行预测才有意义。因此我们首先研究该过程的平稳条件。

对于一阶自回归模型,有如下递推式: Y t = ϕ Y t − 1 + e t = e t + ϕ ( ϕ Y t − 2 + e t − 1 ) . . . . . . = e t + ϕ e t − 1 + ϕ 2 e t − 2 + ϕ 3 e t − 3 . . . (2) Y_t=\phi Y_{t-1} + e_t \\=e_t+\phi (\phi Y_{t-2} + e_{t-1}) \\...... \\=e_t+\phi e_{t-1} + \phi^2 e_{t-2} +\phi^3 e_{t-3}... \tag{2} Yt​=ϕYt−1​+et​=et​+ϕ(ϕYt−2​+et−1​)......=et​+ϕet−1​+ϕ2et−2​+ϕ3et−3​...(2) 可以看到，一阶自回归过程(1)式可以表示成白噪声序列的线性组合。

由于 E ( e t ) = 0 E(e_t)=0 E(et​)=0,故 E ( Y t ) = 0 E(Y_t)=0 E(Yt​)=0, 则平稳条件①成立。

对(2)式两边取方差： v a r ( Y t ) = σ e 2 ( 1 + ϕ 2 + ϕ 4 + . . . ) (3) var(Y_t)=\sigma_e^2(1+\phi^2+\phi^4+...)\tag{3} var(Yt​)=σe2​(1+ϕ2+ϕ4+...)(3) 当且仅当 ∣ ϕ ∣ < 1 |\phi|