矩阵中非零行或列指矩阵中至少包含一个非零元素的行或列。非零行的先导元素是指该行中最左边的非零元素。

一个矩阵称为阶梯形（或行阶梯形）矩阵，若它有一下三个性质：

阶梯形矩阵对应的方程组就是三角形形式。

任何非零矩阵都可以行化简（即用初等行变换）变为阶梯形矩阵，但用不同的方法可化为不同的阶梯形矩阵。然而，一个矩阵只能化为唯一的简化阶梯形矩阵。

每个矩阵行等价于唯一的简化阶梯形矩阵。

若矩阵 A \boldsymbol{A} A行等价于阶梯形矩阵 U \boldsymbol{U} U，则称 U \boldsymbol{U} U为 A \boldsymbol{A} A的阶梯形矩阵；若 U \boldsymbol{U} U是简化阶梯形矩阵，则称 U \boldsymbol{U} U为 A \boldsymbol{A} A的简化阶梯形矩阵。

矩阵中的主元位置是矩阵 A \boldsymbol{A} A中对应于它的简化阶梯形中先导元素1的位置。主元列是矩阵 A \boldsymbol{A} A的含有主元位置的列。

把矩阵 [ 0 − 3 − 6 4 9 − 1 − 2 − 1 3 1 − 2 − 3 0 3 − 1 1 4 5 − 9 − 7 ] \left[\begin{matrix} 0 ; -3 ; -6 ; 4 ; 9 \\ -1 ; -2 ; -1 ; 3 ; 1 \\ -2 ; -3 ; 0 ; 3 ; -1 \\ 1 ; 4 ; 5 ; -9 ; -7 \\ \end{matrix}\right] ⎣⎢⎢⎡​0−1−21​−3−2−34​−6−105​433−9​91−1−7​⎦⎥⎥⎤​化为阶梯形矩阵，并确定主元列。 解：使用用初等行变换进行转化。记号“～“表示它前面和后面的两个矩阵是行等价的。

主元是在主元位置上的非零元素。在矩阵转换过程中，通过初等行变换用主元将下面的元素化为0。上述转换过程中，我们使用的主元是1，2，5。

用初等行变换把矩阵 [ 0 3 − 6 6 4 − 5 3 − 7 8 − 5 8 9 3 − 9 12 − 9 6 15 ] \left[\begin{matrix} 0 ; 3 ; -6 ; 6 ; 4 ; -5 \\ 3 ; -7 ; 8 ; -5 ; 8 ; 9 \\ 3 ; -9 ; 12 ; -9 ; 6 ; 15 \\ \end{matrix}\right] ⎣⎡​033​3−7−9​−6812​6−5−9​486​−5915​⎦⎤​先化为阶梯形矩阵，再化为简化阶梯形矩阵。 解：

第一至四步称为行化简算法的向前步骤，产生唯一的简化阶梯形矩阵的第五步称为向后步骤。

行化简算法通常称为高斯消去法。在第二步选取主元时，计算机程序通常选择一列中绝对值最大的元素作为主元。这种方法通常称为部分主元法，可以减少计算中的舍入误差。

行化简算法应用于方程组的增广矩阵时，可以得出线性方程组解集的一种显示表示法。

设某个线性方程组的增广矩阵已化为行等价的简化阶梯形矩阵 [ 1 0 − 5 1 0 1 1 4 0 0 0 0 ] \left[\begin{matrix} 1 ; 0 ; -5 ; 1 \\ 0 ; 1 ; 1 ; 4 \\ 0 ; 0 ; 0 ; 0 \\ \end{matrix}\right] ⎣⎡​100​010​−510​140​⎦⎤​。因为增广矩阵有4列，所有有3个变量。对应的线性方程组是 { x 1 − 5 x 3 = 1 x 2 + x 3 = 4 0 = 0 \begin{cases} x_1 - 5x_3 = 1 \\ x_2 + x_3 = 4 \\ 0 = 0 \\ \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧​x1​−5x3​=1x2​+x3​=40=0​。对应于主元列的变量 x 1 x_1 x1​和 x 2 x_2 x2​称为基本变量。其它变量 x 3 x_3 x3​称为自由变量。

只要一个线性方程组是相容的，其解集就可以显式表示。（若有自由变量，用自由变量表示基本变量。）简化阶梯形矩阵使每个基本变量仅包含在一个方程中，容易解出简化阶梯形矩阵 [ 1 0 − 5 1 0 1 1 4 0 0 0 0 ] \left[\begin{matrix} 1 ; 0 ; -5 ; 1 \\ 0 ; 1 ; 1 ; 4 \\ 0 ; 0 ; 0 ; 0 \\ \end{matrix}\right] ⎣⎡​100​010​−510​140​⎦⎤​的解集的表示式： { x 1 = 1 + 5 x 3 x 2 = 4 − x 3 x 3 为 自 由 变 量 \begin{cases} x_1 = 1 + 5x_3 \\ x_2 = 4 - x_3 \\ x_3为自由变量 \\ \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧​x1​=1+5x3​x2​=4−x3​x3​为自由变量​。 表示式给出的解称为方程组的通解。（因为它给出了所有解的显示表达。）这种解集的表示式称为解集的参数表示。解方程组就是要求出解集的这种参数表示或确定它无解。

求解线性方程组的通解，该方程组相容且其增广矩阵已经化为 [ 1 6 2 − 5 − 2 − 4 0 0 2 − 8 − 1 3 0 0 0 0 1 7 ] \left[\begin{matrix} 1 ; 6 ; 2 ; -5 ; -2 ; -4 \\ 0 ; 0 ; 2 ; -8 ; -1 ; 3 \\ 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 1 ; 7 \\ \end{matrix}\right] ⎣⎡​100​600​220​−5−80​−2−11​−437​⎦⎤​ 。 解：该矩阵已是阶梯形矩阵。使用行化简算法将其化为简化阶梯形矩阵。 [ 1 6 2 − 5 − 2 − 4 0 0 2 − 8 − 1 3 0 0 0 0 1 7 ] \quad \left[\begin{matrix} 1 ; 6 ; 2 ; -5 ; -2 ; -4 \\ 0 ; 0 ; 2 ; -8 ; -1 ; 3 \\ 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 1 ; 7 \\ \end{matrix}\right] ⎣⎡​100​600​220​−5−80​−2−11​−437​⎦⎤​～ [ 1 6 2 − 5 0 10 0 0 2 − 8 0 10 0 0 0 0 1 7 ] \left[\begin{matrix} 1 ; 6 ; 2 ; -5 ; 0 ; 10 \\ 0 ; 0 ; 2 ; -8 ; 0 ; 10 \\ 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 1 ; 7 \\ \end{matrix}\right] ⎣⎡​100​600​220​−5−80​001​10107​⎦⎤​ ～ [ 1 6 2 − 5 0 10 0 0 1 − 4 0 5 0 0 0 0 1 7 ] \left[\begin{matrix} 1 ; 6 ; 2 ; -5 ; 0 ; 10 \\ 0 ; 0 ; 1 ; -4 ; 0 ; 5 \\ 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 1 ; 7 \\ \end{matrix}\right] ⎣⎡​100​600​210​−5−40​001​1057​⎦⎤​～ [ 1 6 0 3 0 0 0 0 1 − 4 0 5 0 0 0 0 1 7 ] \left[\begin{matrix} 1 ; 6 ; 0 ; 3 ; 0 ; 0 \\ 0 ; 0 ; 1 ; -4 ; 0 ; 5 \\ 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 1 ; 7 \\ \end{matrix}\right] ⎣⎡​100​600​010​3−40​001​057​⎦⎤​ 增广矩阵有6列，所以原方程组有5个变量，对应的方程组为 { x 1 + 6 x 2 + 3 x 4 = 0 x 3 − 4 x 4 = 5 x 5 = 7 \begin{cases} x_1 + 6x_2 + 3x_4 = 0 \\ x_3 - 4x_4 = 5 \\ x_5 = 7 \\ \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧​x1​+6x2​+3x4​=0x3​−4x4​=5x5​=7​ 矩阵的主元列是第1、3、5列，所以基本变量为 x 1 x_1 x1​， x 3 x_3 x3​， x 5 x_5 x5​，剩下的变量 x 2 x_2 x2​和 x 4 x_4 x4​为自由变量。我们得到通解为 { x 1 = − 6 x 2 − 3 x 4 x 2 为 自 由 变 量 x 3 = 5 + 4 x 4 x 4 为 自 由 变 量 x 5 = 7 \begin{cases} x_1 = -6x_2 - 3x_4 \\ x_2为自由变量 \\ x_3 = 5 + 4x_4 \\ x_4为自由变量 \\ x_5 = 7 \\ \end{cases} ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧​x1​=−6x2​−3x4​x2​为自由变量x3​=5+4x4​x4​为自由变量x5​=7​

当一个方程组是相容的且具有自由变量时，它的解集具有多种参数表示。例如线性方程组 { x 1 − 5 x 3 = 1 x 2 + x 3 = 4 0 = 0 \begin{cases} x_1 - 5x_3 = 1 \\ x_2 + x_3 = 4 \\ 0 = 0 \\ \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧​x1​−5x3​=1x2​+x3​=40=0​的解集的另一种参数表示 { x 1 = 21 − 5 x 2 x 2 = 4 − x 3 x 3 为 自 由 变 量 \begin{cases} x_1 = 21 - 5x_2 \\ x_2 = 4 - x_3 \\ x_3为自由变量 \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧​x1​=21−5x2​x2​=4−x3​x3​为自由变量​。不过，我们总是约定使用自由变量作为参数来表示解集。 当方程组步相容时，解集是空集。无论方程组是否有自由变量，解集无参数表示。

确定线性方程组 { 3 x 2 − 6 x 3 + 6 x 4 + 4 x 5 = − 5 3 x 1 − 7 x 2 + 8 x 3 − 5 x 4 + 8 x 5 = 9 3 x 1 − 9 x 2 + 12 x 3 − 9 x 4 + 6 x 5 = 15 \begin{cases} 3x_2 - 6x_3 + 6x_4 + 4x_5 = -5 \\ 3x_1 - 7x_2 + 8x_3 - 5x_4 +8x_5 = 9 \\ 3x_1 - 9x_2 + 12x_3 -9x_4 + 6x_5 = 15 \\ \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧​3x2​−6x3​+6x4​+4x5​=−53x1​−7x2​+8x3​−5x4​+8x5​=93x1​−9x2​+12x3​−9x4​+6x5​=15​的解是否存在且唯一 解：上面案例中已化出其阶梯形矩阵 [ 3 − 9 12 − 9 6 15 0 2 − 4 4 2 − 6 0 0 0 0 1 4 ] \left[\begin{matrix} 3 ; -9 ; 12 ; -9 ; 6 ; 15 \\ 0 ; 2 ; -4 ; 4 ; 2 ; -6 \\ 0 ; 0 ; 0 ; 0 ; 1 ; 4 \\ \end{matrix}\right] ⎣⎡​300​−920​12−40​−940​621​15−64​⎦⎤​ 主元列是第1、2、5列，所以基本变量是 x 1 x_1 x1​， x 2 x_2 x2​和 x 5 x_5 x5​，自由变量是 x 4 x_4 x4​和 x 5 x_5 x5​。

当一个方程组的增广矩阵化为阶梯形矩阵，且主元列不包含最右列（对应方程形如 0 = b 0 = b 0=b）时，每个非零方程包含一个基本变量，它的系数非零。或者这些基本变量已完全确认（此时无自由变量），或者至少有一个基本变量可用一个或多个自由变量表示。对于前一种情形，有唯一的解；对后一种情形，有无穷多个解（对应于自由变量的每一个选择都有一个解。）

故方程组的解存在，且有无穷多个解。

线性方程组相容的充要条件是增广矩阵的最右列不是主元列。也就是说，增广矩阵的阶梯形没有形如 [ 0 ⋯ 0 b ] , b ≠ 0 \left[\begin{matrix} 0 ; \cdots ; 0 ; b \end{matrix}\right], b\neq0 [0​⋯​0​b​],b̸​=0的行。若线性方程组相容，则它的解集可能有两种情形：