Matlab建模

2023-12-27 09:18| 来源: 网络整理| 查看: 265

数学建模期末复习，撰写博客做总结之用，主要侧重于算例的模型建立与部分代码的实现，其中不足之处望读者多多指正。

文章目录前言非线性规划问题供应与选址问题描述模型建立无约束最优化梯子长度问题问题描述模型建立水槽问题问题描述问题求解

前言

主要复习的是两个问题的数学模型建立的过程，代码实现省略。

非线性规划问题供应与选址问题描述

某公司有6个建筑工地要开工，每个工地的位置（用平面坐标系a，b表示，距离单位：km）及水泥日用量d(t)由下表给出．目前有两个临时料场位于A(5,1)，B(2,7)，日储量各有20t．假设从料场到工地之间均有直线道路相连．（1）试制定每天的供应计划，即从A，B两料场分别向各工地运送多少水泥，可使总的吨千米数最小．（2）为了进一步减少吨千米数，打算舍弃两个临时料场，改建两个新的，日储量各为20t，问应建在何处，节省的吨千米数有多大？在这里插入图片描述

模型建立符号说明工地的位置为（ a i , b i a_i,b_i ai,bi）,水泥的日用量 d i d_i di,i=1,2……，6；料场位置为（ x j , y j x_j,y_j xj,yj）,日储量为 e j e_j ej,j=1,2;料场j向工地i运送的水泥量为 X i j X_{ij} Xij.问题1模型建立目标： min ⁡ f = ∑ j = 1 2 ∑ i = 1 6 X i j ( x j − a i ) 2 + ( y j − b i ) 2 \min f = \sum\limits_{j = 1}^2 {\sum\limits_{i = 1}^6 {{X_{ij}}\sqrt {{{({x_j} - {a_i})}^2} + {{({y_j} - {b_i})}^2}} } } minf=j=1∑2i=1∑6Xij(xj−ai)2+(yj−bi)2 约束： ∑ j = 1 2 X i j = d i , i = 1 , 2 , ⋯ , 6 ∑ i = 1 6 X i j ≤ e j , j = 1 , 2 \begin{array}{l} \sum\limits_{j = 1}^2 {{X_{ij}}} = {d_i},{\rm{ }}i = 1,2, \cdots ,6\\ \sum\limits_{i = 1}^6 {{X_{ij}}} \le {e_j},{\rm{ }}j = 1,2 \end{array} j=1∑2Xij=di,i=1,2,⋯,6i=1∑6Xij≤ej,j=1,2 此时使用临时料场的决策变量为： X i j X_{ij} Xij.问题2模型建立 min ⁡ f = ∑ j = 1 2 ∑ i = 1 6 X i j ( x j − a i ) 2 + ( y j − b i ) 2 \min f = \sum\limits_{j = 1}^2 {\sum\limits_{i = 1}^6 {{X_{ij}}\sqrt {{{({x_j} - {a_i})}^2} + {{({y_j} - {b_i})}^2}} } } minf=j=1∑2i=1∑6Xij(xj−ai)2+(yj−bi)2 s.t. ∑ j = 1 2 X i j = d i , i = 1 , 2 , ⋯ , 6 ∑ 6 X i j ≤ e j , j = 1 , 2 \begin{array}{l} \text { s.t. } \sum_{j=1}^{2} X_{i j}=d_{i}, \quad i=1,2, \cdots, 6 \\ \sum^{6} X_{i j} \leq e_{j}, \quad j=1,2 \end{array} s.t. ∑j=12Xij=di,i=1,2,⋯,6∑6Xij≤ej,j=1,2 此时不使用临时料场，决策变量变为： X i j 、 x j 、 y j X_{ij}、x_j、y_j Xij、xj、yj。无约束最优化梯子长度问题问题描述

一楼房的后面是一个很大的花园. 在花园中紧靠着楼房有一个温室, 高3m,温室伸入花园2m,温室正上方是楼房的窗台. 清洁工打扫窗台周围,他得用梯子越过温室,一头放在花园中,一头靠在楼房的墙上. 因为温室是不能承受梯子压力的,所以梯子太短是不行的.现清洁工只有一架7m长的梯子,你认为它能达到要求吗? 能满足要求的梯子的最小长度为多少? 在这里插入图片描述

模型建立

符号假设 L : 梯子的长度 L:梯子的长度 L:梯子的长度； L 1 : 梯子的上半段 L_1:梯子的上半段 L1:梯子的上半段； L 2 : 梯子的下半段 L_2:梯子的下半段 L2:梯子的下半段； θ : 梯子与地面的夹角 \theta:梯子与地面的夹角 θ:梯子与地面的夹角;

模型建立据题意易得： L = L 1 + L 2 ( 1 ) ; L=L_1+L_2(1); L=L1+L2(1); 其中: L 1 = a c o s ( θ ) ( 2 ) L_1=\frac{a}{cos(\theta)}(2) L1=cos(θ)a(2) L 2 = b s i n ( θ ) ( 3 ) L_2=\frac{b}{sin(\theta)}(3) L2=sin(θ)b(3) 综合（1）、（2）、（3）式可得原式可等效为： m i n L = 2 c o s ( θ ) + 3 s i n ( θ ) 其中： 0 ≤ θ ≤ π 2 min L=\frac{2}{cos(\theta)}+\frac{3}{sin(\theta)}其中：0\leq\theta\leq\frac{\pi}{2} minL=cos(θ)2+sin(θ)3其中：0≤θ≤2π

数学方式求：对 θ \theta θ求导令导数为零，其为零时可得对应的最值，再求对应的二阶导可判断其的取值情况。

Matlab求取：

%梯子问题 a=2; b=3; str=[num2str(a),'/cos(x)+',num2str(b),'/sin(x)']; f=str2func(['@(x)',str]) ezplot(str,[0,pi/2]) [x,fmin]=fminsearch(f,1)

在这里插入图片描述

x =0.8527 fmin =7.0235 即梯子的最小长度为7.0235米。

水槽问题问题描述

有边长为3m的正方形铁板，在四个角剪去相等的正方形以制成方形无盖水槽，问如何剪法使水槽的容积最大？

问题求解模型设裁剪的正方形的边长为 x x x,这水槽的容积为： ( 3 − 2 x ) 2 x (3-2x)^2x (3−2x)2x 可建立无约束优化模型：min y = ( 3 − 2 x 2 ) x y=(3 - 2{x^2})x y=(3−2x2)x 0

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