运筹说 第103期 |
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通过前几期的学习,我们已经学会了非线性规划的基本概念、一维搜索的计算方法,其中掌握了斐波那契法、0.618法(黄金分割法)、库恩塔克条件以及无约束极值问题的定义与相关求解方法,本期小编带大家学习非线性规划在经济管理中的应用。 在实际工作中,我们能发现非线性规划在经济管理中有着许多应用,本期小编选择了其中一些典型例子,包括一维搜索的两种求解方法、梯度下降法以及库恩塔克条件,进行详细讲解。 一、一维搜索求解问题描述: 现有一家制造企业,生产某种产品所需的能源消耗与生产速度相关,其目的是希望通过优化生产速度来最小化能源消耗,并在给定的时间范围内完成生产任务。现已知能源消耗与生产速度之间的关系由函数 问题分析: 该问题的目标是在给定的时间范围内生产产品,并在满足速度取值范围和区间精度的条件下最小化能源消耗,寻找一个最佳的生产速度t,故可以将问题转换成一维搜索方法进行求解。根据以上描述可以得出初始的单谷区间,并根据要求确定最后区间的精度,根据斐波那契法或者0.618法(黄金分割法)进行迭代,得到最佳的生产速度。 问题求解: 斐波那契法求解: 根据上述描述可得出: 0.618法(黄金分割法)求解: 方法总结 黄金分割法和斐波那契法都是用于求解一维搜索问题的优化算法,特别在非线性规划中有广泛的应用。它们的目标是在一个给定的区间内找到一个局部最优解,即使函数是非线性的。下面是它们的相同点以及不同点的总结。 相同点 ①一维搜索: 黄金分割法和斐波那契法都是一维搜索方法,适用于只有一个变量的优化问题。 ②基于区间缩减: 两种方法都利用不断缩小搜索区间的策略,从而逐步逼近最优解。 ③无需梯度信息: 这两种方法不需要函数的梯度信息,因此适用于无法轻易获得导数信息的问题。 不同点 搜索点选取方式: ①黄金分割法: 黄金分割法使用恒定的比例因子将当前搜索区间分成两个部分,选择一个新的搜索点进行迭代。 ②斐波那契法: 斐波那契法根据斐波那契数列的特性来决定搜索点的位置,通过适当的调整搜索区间来达到收敛。 二、梯度下降法求解问题描述: 假设你是一家公司的销售经理,负责优化某个产品的销售策略。根据历史数据和市场分析,你确定了一个销售指标公式 问题解析: 问题描述: 某一施工单位希望设计一座跨越一条河流的桥梁,为了提高桥梁的性能,需要使得函数 问题分析: 根据上述对问题的描述,可以明确的看出该优化问题是在有约束条件下求取最小值,我们可以使用库恩-塔克条件来解决。通过对约束条件引入广义拉格朗日乘子,分情况对引入的约束条件进行讨论,如果可以找到一组满足库恩-塔克条件的可行点和广义拉格朗日乘子,就能够找到该问题的最优点。 以上就是本期非线性规划例题讲解的全部内容啦,通过对这一期的学习,相信大家一定能够加深对非线性规划的理解,进而在生活实践中学会应用! 作者 | 林鑫 马书良 责编 | 陈梦 审核 | 徐小峰 ·YUNCHOUSHUO· ·知乎|运筹说· ·B站|运筹说· ·CSDN|运筹说· |
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