两个重要极限及其推导过程

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两个重要极限及其推导过程

2024-07-11 21:03| 来源: 网络整理| 查看: 265

一、 $\lim_{x\rightarrow 0}\tfrac{sinx}{x}=1$

证明：由上图可知， $sinxxtanx$

$\therefore 1\tfrac{x}{sinx}\tfrac{1}{cosx}$

即 $cosx\tfrac{sinx}{x}1$

$\because \lim_{x\rightarrow 0}cosx=1$

$\therefore\lim_{x\rightarrow 0}\tfrac{sinx}{x}=1$

二、 $\lim_{x\rightarrow\infty}\left ( 1+\tfrac{1}{x} \right )^{x}=e$

证明：首先证明此极限存在

构造数列 $x_{n}=\left(1+\frac{1}{n} \right )^{n}$

$x_n=1+C_{n}^{1}\frac{1}{n}+C_{n}^{2}\frac{1}{n^2}+C_{n}^{3}\frac{1}{n^3}+...+C_{n}^{n}\frac{1}{n^n}\\$

$=1+n\cdot \frac{1}{n}+\frac{n\left ( n-1 \right )}{2!}\cdot \frac{1}{n^2}$ $+ \frac{n\left ( n-1 \right )\left ( n-2 \right )}{3!}\cdot \frac{1}{n^3}+\cdot\cdot\cdot+ \frac{n\left ( n-1 \right )\left ( n-2 \right )\cdot\cdot\cdot1}{n!}\cdot \frac{1}{n^n}$

$=1+1+\frac{1}{2!}\cdot\left(1- \frac{1}{n}\right )+\frac{1}{3!}\cdot\left(1-\frac{1}{n} \right )\left(1-\frac{2}{n} \right )+\cdot\cdot\cdot+$ $\frac{1}{n!}\cdot\left(1-\frac{1}{n} \right )\left(1-\frac{2}{n} \right )$ $\cdot\cdot\cdot\left(1-\frac{n-1}{n} \right )$

$2+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdot\cdot\cdot +\frac{1}{n!}$

$2+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\cdot\cdot\cdot++\frac{1}{2^{n-1}}$

$=3-\frac{1}{2^{n-1}}$

$3$

而对于n+1

$x_{n+1}=\left(1+\frac{1}{n+1} \right )^{n+1}$

$=1+1+\frac{1}{2!}\cdot\left(1- \frac{1}{n+1}\right )+\frac{1}{3!}\cdot\left(1-\frac{1}{n+1} \right )\left(1-\frac{2}{n+1} \right )+\cdot\cdot\cdot+$

$\frac{1}{n!}\cdot\left(1- \frac{1}{n+1}\right )\left(1-\frac{2}{n+1} \right )\cdot\cdot\cdot\left(1-\frac{n-1}{n+1} \right )+$

$\frac{1}{\left(n+1 \right )!}\cdot\left(1- \frac{1}{n+1}\right )\left(1-\frac{2}{n+1} \right )\cdot\cdot\cdot\left(1-\frac{n-1}{n+1} \right )\left(1-\frac{n}{n+1} \right )$

$x_n$

由单调有界数列必有极限可知，数列 $x_{n}=\left(1+\frac{1}{n} \right )^{n}$ 的极限一定存在。

记此极限为 $e$

对于实数 $x$ ，则总存在整数 $n$ ，使得 $n\leqslant x\leqslant{n+1}$

则有 $\left(1+\frac{1}{n+1} \right )^n \left(1+\frac{1}{x} \right )^x \left(1+\frac{1}{n} \right )^{n+1}$

$\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{n+1} \right )^n = \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\left(1+\frac{1}{n+1} \right )^{n+1}}{\left(1+\frac{1}{n+1} \right )}=\frac{\lim_{x\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{n+1} \right )^{n+1}}{\lim_{x\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{n+1} \right )}$

$=\frac{e}{1+0}=e$

$\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{n} \right )^{n+1} = \lim_{n\rightarrow\infty}\left(\left(1+\frac{1}{n} \right )^{n} \left(1+\frac{1}{n} \right ) \right )$

$= \lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{n} \right )^{n} \lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{n} \right )$

$=e\cdot\left(1+0 \right )$

$=e$

根据两边夹定理，函数 $f(x)=\lim_{x\rightarrow\infty}\left ( 1+\tfrac{1}{x} \right )^{x}$ 的极限存在，为e

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