如果 $\mathbf F = P\mathbf i + Q\mathbf j + R\mathbf k$ 是定义在 $\mathbb R^3$ 上的向量场，而且 $P,\ Q,\ R$ 的偏导数都存在，则 $\mathbf F$ 的旋度是由

所定义的 $\mathbb{R}^3$ 向量场。

运用算符表示法，我们引入梯度算子 $\nabla$ ：

$\nabla$ 是一个向量微分算子，它在与数量场 $f$ 作用时可得到该场的梯度：

将 $\nabla$ 看作一个向量，则我们可以得到旋度的一个比较简单的表示：

因此我们有旋度的第二定义：

定理 $\eqref{梯度场旋度为0}$ 可由克莱尔定理证明。它表示保守向量场的旋度为 $0$ 。

定理 $\eqref{梯度场旋度为0}$ 的逆定理只在 $\mathbf F$ 的定义域等于上域时成立（更广泛地，是在其定义域为简单连通区域时成立），它是 $16.3$ 节中保守向量场判定定理在三维空间中的对应定理：

定理 $\eqref{保守向量场的第二判定定理}$ 的证明需要用到斯托克斯公式。

“旋度”一词暗示了其在旋转方面的意义。具体来说，当 $\mathbf F$ 表示流体的速度场时， $\text{curl }\mathbf F$ 的大小表示了在 $(x, y, z)$ 附近的液体中粒子绕轴旋转的速度，其方向则为所绕轴的方向（如上图）。若在 $P$ 点 $\text{curl }\mathbf F = \mathbf 0$ ，则粒子不会绕 $P$ 点旋转， $\mathbf F$ 被称为在 $P$ 点无旋(irrotational)。换句话说，在 $P$ 点不存在旋涡。若 $\text{curl }\mathbf F = \mathbf 0$ ，则桨轮会随液体运动但不会旋转；若 $\text{curl }\mathbf F \ne \mathbf 0$ ，则在该点的桨轮会绕轴旋转。更详细的讨论会在斯托克斯公式一节之中进行。

若 $\mathbf F = P\mathbf i + Q\mathbf j + R\mathbf k$ 且 $\partial P / \partial x$ ， $\partial Q / \partial y$ 和 $\partial R / \partial z$ 都存在，则 $\mathbf F$ 的散度(divergence of F)是由

所定义的三元函数。

注意到， $\text{curl }\mathbf F$ 是向量场，但 $\text{div }\mathbf F$ 是数量场。利用梯度算子 $\nabla =\mathbf i\frac\partial{\partial x} +\mathbf j\frac\partial{\partial y} +\mathbf k\frac\partial{\partial z}$ ， $\mathbf F$ 的散度可以用 $\nabla$ 和 $\mathbf F$ 的点乘来表示：

取名为散( $s\grave an$ )度的原因可以在液体流的讨论中被理解。

如果 $\mathbf F(x, y, z)$ 是液体的速度场，则 $\text{div }\mathbf F(x, y, z)$ 表示单位体积的液体从点 $(x, y, z)$ 流出时质量随时间的净变化率。换句话说， $\text{div }\mathbf F(x, y, z)$ 指示了流体从点 $(x, y, z)$ 向外溢出（发散）的倾向。若 $\text{div }\mathbf F = 0$ ，则 $\mathbf F$ 被称为不可压缩(incompressible)。用粒子来理解的话，则我们可以用散度来表示无限收缩的封闭曲面内粒子辐射的倾向1。

当我们计算梯度场 $\nabla f$ 的散度时，我们可以得到另一个微分算子。若 $f$ 是一个三元函数，则我们有：

这种表示法经常会出现，因此我们将其简化为 $\nabla^2f$ 。算子

因为其与拉普拉斯方程(Laplace’s equation)

的关系，被称为拉普拉斯算子(Laplace operator)。

我们也可以将拉普拉斯算子 $\nabla^2$ 应用到向量场

（对其分量应用）上：

设二元向量场 $\mathbf F = P\mathbf i + Q\mathbf j$ ，其直线积分为

，且将 $\mathbf F$ 看作 $z$ 方向分量为 $0$ 的 $\mathbf R^3$ 向量场，则有

则

因此我们可以将格林公式写成其向量形式：

式 $\eqref{格林公式的向量形式1}$ 将 $\mathbf F$ 沿 $C$ 的切向分量的直线积分表示为 $\text{curl }\mathbf F$ 对由 $C$ 围成的区域 $D$ 的垂直分量的二重积分。

我们可以得出对 $\mathbf F$ 的法向(normal)分量的一个相似定理：

若为 $C$ 由向量方程

所确定的曲线，则其单位切向量为

则我们可以得出其单位法向量：

设 $\mathbf F = P\mathbf i + Q\mathbf j$ ，则由式 $(2.4)$ ，有：

由格林公式可知，

等式右侧即为 $\mathbf F$ 的散度，则我们可以得出格林公式的第二个向量形式：

式 $\eqref{格林公式的向量形式2}$ 表示， $\mathbf F$ 沿 $C$ 的法向分量的直线积分等于 $\mathbf F$ 的散度对由 $C$ 围成的区域 $D$ 的二重积分。

散度和旋度的物理意义是什么？ - 知乎

散度和KL散度的介绍 - CSDN 博客