钢管下料模型

【问题引入】

生产过程中常会遇到通过切割、剪裁等手段将原材料加工成所需尺寸，这种工艺称为原料下料.按照进一步的工艺要求，确定下料方案使用原材料最少或利润最大，这是典型的优化问题.

【案例分析】

一、某钢管零售商从钢管厂进货，将钢管按照客户需求切割出售，从钢管厂进货时得到的原料钢管长度都是19m，大多数客户需求的钢管长度为4m、5m、6m.现一客户需要50根4m、10根5m、20根6m和15根8m的钢管，应如何下料最节省？为减少生产和管理成本，规定采用的不同切割模式不能超过3种.

*注：本题选自赵静，但琦.数学建模与数学实验（第5版）

（1） 切割过程无损耗、无次品；

（2）切割余料不能再利用；

（3）每种切割模式余料长度小于最小需求长度4m；

（4）零售商现有4m、5m、6m、8m钢管数目为0；

（5） 生产过程中，4m、5m、6m钢管允许剩余，8m钢管不允许剩余.

（1） x i x_i xi​表示按照第 i i i种切割模式切割的钢管数目；

（2） r i j r_{ij} rij​表示按照第 i i i种切割模式切割，每根原料钢管产生第 j j j种所需钢管的数目.

寻求最优的切割模式，使得所用原料钢管数目最少

（1）目标函数 min x 1 x_1 x1​+ x 2 x_2 x2​+ x 3 x_3 x3​

（2）约束条件

a.客户需求限制：

切割的钢管数目须满足客户的需求.

b.原料钢管长度限制：

原料钢管长度为19m，任一切割模式下，可利用的钢管长度不得超过19m.

这里没有设置下限16，因为在较优的切割模式下，已默认满足基本假设（3）.

c.最低钢管数目限制：

为减少计算量，缩小可行域，现考虑特殊情况.

假设所有钢管可无缝拼接，客户所需钢管总长度为

因此，拼接

根钢管即可满足客户需求.事实上，钢管不可拼接，因此，所用原料钢管数目不小于26根，此为原料钢管数目下限.即：

d.非负整数限制

变量 x i x_i