结论： ∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln ⁡ ∣ x + a 2 + x 2 ∣ + C \int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx=\ln|x+\sqrt{a^2+x^2}|+C ∫x2+a2 ​1​dx=ln∣x+a2+x2 ​∣+C 推导过程： 令 x = a ∗ tan ⁡ t , ⇒ tan ⁡ t = x a ； d x = a ∗ ( tan ⁡ t ) ′ d t = a cos ⁡ 2 t d t 令x=a*\tan t,\Rightarrow\tan t=\frac{x}{a}；dx=a*(\tan t)'dt=\frac{a}{\cos ^2t}dt 令x=a∗tant,⇒tant=ax​；dx=a∗(tant)′dt=cos2ta​dt tan ⁡ 2 t = x 2 a 2 = 1 − cos ⁡ 2 t c o s 2 t = 1 c o s 2 t − 1 ⇒ cos ⁡ t = a x 2 + a 2 \tan^2 t=\frac{x^2}{a^2}=\frac{1-\cos^2t}{cos^2t}=\frac{1}{cos^2t}-1 \Rightarrow\cos t=\frac{a}{\sqrt{x^2+a^2}} tan2t=a2x2​=cos2t1−cos2t​=cos2t1​−1⇒cost=x2+a2 ​a​ ∫ 1 x 2 + a 2 d x = ∫ 1 a 2 ∗ tan ⁡ 2 t + a 2 ∗ a cos ⁡ 2 t d t \int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx=\int\frac{1}{\sqrt{a^2*\tan^2t+a^2}}*\frac{a}{\cos ^2t}dt ∫x2+a2 ​1​dx=∫a2∗tan2t+a2 ​1​∗cos2ta​dt

= ∫ a a ∗ 1 cos ⁡ t ∗ cos ⁡ 2 t d t =\int\frac{a}{a*\frac{1}{\cos t}*\cos^2t}dt =∫a∗cost1​∗cos2ta​dt

= ∫ d t cos ⁡ t = ∫ 1 cos ⁡ 2 t d sin ⁡ t =\int\frac{dt}{\cos t}=\int\frac{1}{\cos^2t}d\sin t =∫costdt​=∫cos2t1​dsint

= 1 2 ∫ ( 1 1 + sin ⁡ t + 1 1 − sin ⁡ t ) d sin ⁡ t =\frac{1}{2}\int(\frac{1}{1+\sin t}+\frac{1}{1-\sin t})d \sin t =21​∫(1+sint1​+1−sint1​)dsint

= 1 2 ( ln ⁡ ∣ 1 + sin ⁡ t ∣ − ln ⁡ ∣ 1 − sin ⁡ t ∣ ) + C =\frac{1}{2}(\ln|1+\sin t|-\ln|1-\sin t|)+C =21​(ln∣1+sint∣−ln∣1−sint∣)+C

= 1 2 ln ⁡ ∣ 1 + sin ⁡ t 1 − sin ⁡ t ∣ + C = 1 2 ln ⁡ ∣ ( 1 + sin ⁡ t ) 2 1 − sin ⁡ 2 t ∣ + C =\frac{1}{2}\ln|\frac{1+\sin t}{1-\sin t}|+C=\frac{1}{2}\ln|\frac{(1+\sin t)^2}{1-\sin^2t}|+C =21​ln∣1−sint1+sint​∣+C=21​ln∣1−sin2t(1+sint)2​∣+C

= 1 2 ln ⁡ ∣ ( 1 + sin ⁡ t ) 2 cos ⁡ t 2 t ∣ + C = ln ⁡ ∣ 1 + sin ⁡ t cos ⁡ t ∣ + C =\frac{1}{2}\ln|\frac{(1+\sin t)^2}{\cos t^2t}|+C=\ln|\frac{1+\sin t}{\cos t}|+C =21​ln∣cost2t(1+sint)2​∣+C=ln∣cost1+sint​∣+C

= ln ⁡ ∣ 1 cos ⁡ t + tan ⁡ t ∣ + C =\ln|\frac{1}{\cos t}+\tan t|+C =ln∣cost1​+tant∣+C

= ln ⁡ ∣ a 2 + x 2 a + x a ∣ + C =\ln|\frac{\sqrt{a^2+x^2}}{a}+\frac{x}{a}|+C =ln∣aa2+x2 ​​+ax​∣+C

= ln ⁡ ∣ a 2 + x 2 + x ∣ − ln ⁡ a + C =\ln|\sqrt{a^2+x^2}+x|-\ln a+C =ln∣a2+x2 ​+x∣−lna+C

= ln ⁡ ∣ a 2 + x 2 + x ∣ + C =\ln|\sqrt{a^2+x^2}+x|+C =ln∣a2+x2 ​+x∣+C

注释： 真 心 记 不 住 sec ⁡ x , csc ⁡ x , cot ⁡ x 函 数 运 算 转 换 ， 但 是 只 要 记 住 他 们 分 别 是 cos ⁡ x , sin ⁡ x , tan ⁡ x 的 倒 数 就 够 了 真心记不住\sec x,\csc x,\cot x函数运算转换，但是只要记住他们分别是\cos x,\sin x,\tan x的倒数就够了 真心记不住secx,cscx,cotx函数运算转换，但是只要记住他们分别是cosx,sinx,tanx的倒数就够了

评论说未考虑负号的情况，其实是一样的，过程如下：

推导过程： 令 x = a ∗ tan ⁡ t , ⇒ tan ⁡ t = x a ； d x = a ∗ ( tan ⁡ t ) ′ d t = a cos ⁡ 2 t d t 令x=a*\tan t,\Rightarrow\tan t=\frac{x}{a}；dx=a*(\tan t)'dt=\frac{a}{\cos ^2t}dt 令x=a∗tant,⇒tant=ax​；dx=a∗(tant)′dt=cos2ta​dt tan ⁡ 2 t = x 2 a 2 = 1 − cos ⁡ 2 t c o s 2 t = 1 c o s 2 t − 1 ⇒ cos ⁡ t = ± a x 2 + a 2 \tan^2 t=\frac{x^2}{a^2}=\frac{1-\cos^2t}{cos^2t}=\frac{1}{cos^2t}-1 \Rightarrow\cos t=\pm\frac{a}{\sqrt{x^2+a^2}} tan2t=a2x2​=cos2t1−cos2t​=cos2t1​−1⇒cost=±x2+a2 ​a​

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ∫ 1 x 2 + a 2 ∗ a cos ⁡ 2 t d t \int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx=\int\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}*\frac{a}{\cos ^2t}dt ∫x2+a2 ​1​dx=∫x2+a2 ​1​∗cos2ta​dt

= ∫ 1 x 2 + a 2 ∗ x 2 + a 2 a d t = ∫ x 2 + a 2 a d t =\int\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}*\frac{x^2+a^2}{a}dt=\int\frac{\sqrt{x^2+a^2}}{a}dt =∫x2+a2 ​1​∗ax2+a2​dt=∫ax2+a2 ​​dt

从这里开始讨论： 如果, cos ⁡ t = a x 2 + a 2 \cos t=\frac{a}{\sqrt{x^2+a^2}} cost=x2+a2 ​a​，那么和之前解法一样：

原 式 = ∫ d t cos ⁡ t = ∫ 1 cos ⁡ 2 t d sin ⁡ t 原式=\int\frac{dt}{\cos t}=\int\frac{1}{\cos^2t}d\sin t 原式=∫costdt​=∫cos2t1​dsint

= 1 2 ∫ ( 1 1 + sin ⁡ t + 1 1 − sin ⁡ t ) d sin ⁡ t =\frac{1}{2}\int(\frac{1}{1+\sin t}+\frac{1}{1-\sin t})d \sin t =21​∫(1+sint1​+1−sint1​)dsint

= 1 2 ( ln ⁡ ∣ 1 + sin ⁡ t ∣ − ln ⁡ ∣ 1 − sin ⁡ t ∣ ) + C =\frac{1}{2}(\ln|1+\sin t|-\ln|1-\sin t|)+C =21​(ln∣1+sint∣−ln∣1−sint∣)+C

= 1 2 ln ⁡ ∣ 1 + sin ⁡ t 1 − sin ⁡ t ∣ + C = 1 2 ln ⁡ ∣ ( 1 + sin ⁡ t ) 2 1 − sin ⁡ 2 t ∣ + C =\frac{1}{2}\ln|\frac{1+\sin t}{1-\sin t}|+C=\frac{1}{2}\ln|\frac{(1+\sin t)^2}{1-\sin^2t}|+C =21​ln∣1−sint1+sint​∣+C=21​ln∣1−sin2t(1+sint)2​∣+C

= 1 2 ln ⁡ ∣ ( 1 + sin ⁡ t ) 2 cos ⁡ t 2 t ∣ + C = ln ⁡ ∣ 1 + sin ⁡ t cos ⁡ t ∣ + C =\frac{1}{2}\ln|\frac{(1+\sin t)^2}{\cos t^2t}|+C=\ln|\frac{1+\sin t}{\cos t}|+C =21​ln∣cost2t(1+sint)2​∣+C=ln∣cost1+sint​∣+C

= ln ⁡ ∣ 1 cos ⁡ t + tan ⁡ t ∣ + C =\ln|\frac{1}{\cos t}+\tan t|+C =ln∣cost1​+tant∣+C

= ln ⁡ ∣ a 2 + x 2 a + x a ∣ + C =\ln|\frac{\sqrt{a^2+x^2}}{a}+\frac{x}{a}|+C =ln∣aa2+x2 ​​+ax​∣+C

= ln ⁡ ∣ a 2 + x 2 + x ∣ − ln ⁡ ∣ a ∣ + C =\ln|\sqrt{a^2+x^2}+x|-\ln |a|+C =ln∣a2+x2 ​+x∣−ln∣a∣+C

= ln ⁡ ∣ a 2 + x 2 + x ∣ + C =\ln|\sqrt{a^2+x^2}+x|+C =ln∣a2+x2 ​+x∣+C

如果 cos ⁡ t = − a x 2 + a 2 \cos t=-\frac{a}{\sqrt{x^2+a^2}} cost=−x2+a2 ​a​：

原 式 = ∫ − d t cos ⁡ t = ∫ − 1 cos ⁡ 2 t d sin ⁡ t 原式=\int-\frac{dt}{\cos t}=\int-\frac{1}{\cos^2t}d\sin t 原式=∫−costdt​=∫−cos2t1​dsint

= − 1 2 ∫ ( 1 1 + sin ⁡ t + 1 1 − sin ⁡ t ) d sin ⁡ t =-\frac{1}{2}\int(\frac{1}{1+\sin t}+\frac{1}{1-\sin t})d \sin t =−21​∫(1+sint1​+1−sint1​)dsint

= − 1 2 ( ln ⁡ ∣ 1 + sin ⁡ t ∣ − ln ⁡ ∣ 1 − sin ⁡ t ∣ ) + C =-\frac{1}{2}(\ln|1+\sin t|-\ln|1-\sin t|)+C =−21​(ln∣1+sint∣−ln∣1−sint∣)+C

= − 1 2 ln ⁡ ∣ 1 + sin ⁡ t 1 − sin ⁡ t ∣ + C = − 1 2 ln ⁡ ∣ ( 1 + sin ⁡ t ) 2 1 − sin ⁡ 2 t ∣ + C =-\frac{1}{2}\ln|\frac{1+\sin t}{1-\sin t}|+C=-\frac{1}{2}\ln|\frac{(1+\sin t)^2}{1-\sin^2t}|+C =−21​ln∣1−sint1+sint​∣+C=−21​ln∣1−sin2t(1+sint)2​∣+C

= − 1 2 ln ⁡ ∣ ( 1 + sin ⁡ t ) 2 cos ⁡ t 2 t ∣ + C = − ln ⁡ ∣ 1 + sin ⁡ t cos ⁡ t ∣ + C =-\frac{1}{2}\ln|\frac{(1+\sin t)^2}{\cos t^2t}|+C=-\ln|\frac{1+\sin t}{\cos t}|+C =−21​ln∣cost2t(1+sint)2​∣+C=−ln∣cost1+sint​∣+C

= − ln ⁡ ∣ 1 cos ⁡ t + tan ⁡ t ∣ + C =-\ln|\frac{1}{\cos t}+\tan t|+C =−ln∣cost1​+tant∣+C

= − ln ⁡ ∣ − a 2 + x 2 a + x a ∣ + C =-\ln|\frac{-\sqrt{a^2+x^2}}{a}+\frac{x}{a}|+C =−ln∣a−a2+x2 ​​+ax​∣+C = − ln ⁡ ∣ x − a 2 + x 2 a ∣ + C =-\ln|\frac{x-\sqrt{a^2+x^2}}{a}|+C =−ln∣ax−a2+x2 ​​∣+C

= − ln ⁡ ∣ a 2 + x 2 − x ∣ − ln ⁡ ∣ a ∣ + C =-\ln|\sqrt{a^2+x^2}-x|-\ln |a|+C =−ln∣a2+x2 ​−x∣−ln∣a∣+C

= ln ⁡ ∣ ( a 2 + x 2 − x ) − 1 ∣ − ln ⁡ ∣ a ∣ + C =\ln|(\sqrt{a^2+x^2}-x)^{-1}|-\ln |a|+C =ln∣(a2+x2 ​−x)−1∣−ln∣a∣+C

= ln ⁡ ∣ ( a 2 + x 2 + x ) a 2 + x 2 − x ) ∗ a 2 + x 2 + x ) ∣ − ln ⁡ ∣ a ∣ + C =\ln|(\frac{\sqrt{a^2+x^2}+x)}{\sqrt{a^2+x^2}-x)*\sqrt{a^2+x^2}+x)}|-\ln |a|+C =ln∣(a2+x2 ​−x)∗a2+x2 ​+x)a2+x2 ​+x)​∣−ln∣a∣+C

= ln ⁡ ∣ ( a 2 + x 2 + x ) ∣ − 3 ln ⁡ ∣ a ∣ + C =\ln|(\sqrt{a^2+x^2}+x)|-3\ln |a|+C =ln∣(a2+x2 ​+x)∣−3ln∣a∣+C

= ln ⁡ ∣ ( a 2 + x 2 + x ) ∣ + C =\ln|(\sqrt{a^2+x^2}+x)|+C =ln∣(a2+x2 ​+x)∣+C

一个数开方后有两个解，正数一个解，负数一个解。 对本题而言，得到的不定积分，能得到两种表达形式： 取正数时，可以证明它等于表达式一； 取负数时，可以证明它等于表达式二；

我认为，直接取正数证明到原式等于表达式一即可。

当然这只是我的主观认知，实际对不对还有待商榷。 数学应该还是追求严谨的，实际上，通过后面的计算，两种表达式最终也是一样的。

另一种思考: tan ⁡ t = x a \tan t=\frac{x}{a} tant=ax​,可以令t在（-pi/2,pi/2），tant在（-pi/2,pi/2）时，值域为全体实数，所以cost>0，上面证明也就不用讨论当cost