方法一:计算器法(最实用的方法)方法二:二分法.在此不多累赘描述.方法三:九章算术1．从个位起向左每隔两位为一节，若带有小数从小数点起向右每隔两位一节，用“，”号将各节分开； 2．求不大于左边第一节数的完全平方数，为“商”； 3．从左边第一节数里减去求得的商，在它们的差的右边写上第二节数作为第一个余数； 4．把商乘以20，试除第一个余数，所得的最大整数作试商(如果这个最大整数大于或等于10，就用9或8作试商)； 5．用商乘以20加上试商再乘以试商。如果所得的积小于或等于余数，就把这个试商写在商后面，作为新商；如果所得的积大于余数，就把试商逐次减小再试，直到积小于或等于余数为止； 6．用同样的方法，继续求。有一幅示意图如下: 方法四:无穷级数(x是被开方数)利用无穷级数可以得出多个根号运算公式.无穷级数要用到泰勒定理,而泰勒定理需要拉格朗日定理的基础.所以,这里就直接给出一些由马克劳林公式求出的函数的泰勒公式.(1)f(x)=ex

(2)f(x)=sinx

(3)f(x)=cosx(4)由(1),我们可以用t=Sqrt(x)来代x,消参后得到t和x的关系式.过程较为繁琐.由(2)(3),我们可无从下手.这时我们可以换一种思路,由(1)出发,不妨按推导(1)的方式,将e代为x,原指数x最终代为1/2,那么即可得到Sqrt(x)的值.而利用(4)中的(1+x)^m的展开式,我们可以直接求得:Sqrt(2)=(1+1)^(1/2)=(1+x)^(1/2)=+1/2-(1/8)*(1/2)^2+(3/48)*1^3-............由右边等式求出(1+x)/0.5.方法五:牛顿迭代法设r是f(x) = 0的根，选取x0作为r初始近似值，过点（x0,f(x0)）做曲线y = f(x)的切线L，L的方程为y = f(x0)+f'(x0)(x-x0)，求出L与x轴交点的横坐标 x1 = x0-f(x0)/f'(x0)，称x1为r的一次近似值。过点（x1,f(x1)）做曲线y = f(x)的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标 x2 = x1-f(x1)/f'(x1)，称x2为r的二次近似值。重复以上过程，得r的近似值序列，其中x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))，称为r的n+1次近似值，上式称为牛顿迭代公式.所以我们可以设欲求根号的数为a，取初值x，使用x(n+1)=(x(n)+a/x(n))/2，迭代可得到解.如a=2时,(2/1+1)/2=1.5(2/1.5+1.5)/2=1.416666666666666666666666666666....(2/1.416666666666666666666666666666..+1.416666666666666666666666666666...)/2=1.414215686274509803921568627451...三步就能得到5位精确数字,效率还是很高的，比较适合考试时用，六:手算开n次方根1、把被开方的整数部分从个位起向左每隔n位为一段，把开方的小数部分从小数点第一位起向由每隔n位为一段，用撇号分开；2、根据左边第一段里的数，求得开n次算术根的最高位上的数，假设这个数为a；3、从第一段的数减去求得的最高位上数的n次方，在它们的差的右边写上第二段数作为第一个余数；4、把n(10a)^(n-1)去除第一个余数，所得的整数部分试商（如果这个最大整数大于或等于10，就用9做试商）；5、设试商为b。如果(10a+b)^n-(10a)^n小于或等于余数，这个试商就是n次算术根的第二位；如果(10a+b)^n-(10a)^n大于余数，就把试商逐次减1再试，直到(10a+b)^n-(10a)^n小于或等于余数为止。6、用同样的方法，继续求n次算术跟的其它各位上的数（如果已经算了k位数数字，则a要取为全部k位数字）。比如求987654321987654321的五次算术根，就算到小数点后四位。     3     9     7     1.    1     9     2     95√987'65432'19876'54321.00000'00000'00000'00000   243________________________________________________   744 65432......................................74465432/(5×30^4)整数部分是18，用9作试商   659 24199......................................39^5-30^5   _____________________________________________    85 41233 19876................................854123319876/(5×390^4)的整数部分是7，用7作试商    83 92970 61757................................397^5-390^5    ____________________________________________     1 48262 58119 54321..........................1482625811954321/(5×3970^4)的整数部分是1，用1作试商          1 24265 57094 08851..........................3971^5-3970^5     ___________________________________________       23997 01025 45470 00000....................23997010254547000000/(5×39710^4)的整数部分是1，用1作试商       12433 44352 06091 99551....................39711^5-39710^5       _________________________________________       11563 56673 39378 00449 00000..............1156356673393780044900000/(5×397110^4)的整数部分是9，用9作试商       11191 17001 57043 20516 21599..............397119^5-397110^5       _________________________________________         372 39671 82334 79932 78401 00000........3723967182334799327840100000/(5×3971190^4)的整数部分是2，用2作试商         248 70419 01386 56554 83574 43232........3971192^5-3971190^5         _______________________________________         123 69252 80948 23377 94826 56768 00000..123692528094823377948265676800000/(5×39711920^4)的整数部分是9，用9作试商         111 91704 90192 14028 71518 74119 30649..39711929^5-39711920^5         _______________________________________          11 77547 90756 09349 23307 82648 69351这样就得到987654321987654321的五次算术根精确到小数点前四位为3971.1929。又如:  我们求 2301781.9823406 的5次方根:  第1步:将被开方的数以小数点为中心,向两边每隔n位分段(下面用'表示);不足部分在两端用0补齐;  23'01781.98234'06000'00000'00000'..........  从高位段向低位段逐段做如下工作:  初值a=0,差c=23(最高段)  第2步:找b,条件:(10*a+b)^n-(10*a)^n