数据清洗

2024-03-23 01:14| 来源: 网络整理| 查看: 265

1. 样条函数定义

2. 样条曲线简介

3. 样条插值法

4. 三次样条曲线

1. 样条函数定义

样条是一种特殊的函数，由多项式分段定义。在插值问题中，样条插值通常比多项式插值好用。用低阶的样条插值能产生和高阶的多项式插值类似的效果，并且可以避免被称为龙格现象(Runge phenonmenon) 的数值不稳定的出现，并且低阶的样条插值还具有“保凸”的重要性质。

备注：在计算方法中，有利用多项式对某一函数的近似逼近，计算相应的函数值。一般情况下，多项式的次数越多，需要的数据就越多，而预测也就越准确。插值次数越高，插值结果越偏离原函数的现象称为龙格现象。

样条函数的优点：与多项式拟合比较，样条函数可以保证穿过所有点，样条函数是多项式的分段函数，同时保证点之间平滑过渡，一阶导数/二阶导数

2. 样条曲线简介

样条曲线Spline本质是分段多项式实函数，在实数范围内有： $S:[a,b]\rightarrow \Re$ ,在区间 $[a,b]$ 上包含 $k$ 个子区间 $[t_{i-1},t_{i}]$ ，且有：

$a=t_{0} t_{1} \cdotst_{k-1}t_{k}=b$ (1)

对应每一段区间 i 的存在多项式： $P_{i}:[t_{i-1},t_{i}]\rightarrow \mathbb{R}$ ,且满足于：

$S(t)=P_{1}(t), t_{0} \leqslant t\leqslant t_{1}$

$S(t)=P_{2}(t), t_{1} \leqslant t\leqslant t_{2},$ (2)

$\vdots$

$S(t)=P_{k}(t), t_{k-1} \leqslant t\leqslant t_{k},$

其中， $P_{i}(t)$ 多项式中最高次项的幂，视为样条的阶数或次数(Order of spline)。根据子区间 $[t_{i-1},t_{i}]$ 的区间长度是否一致分为均匀(Uniform)样条和非均匀（Non_uniform）样条。

满足了公式(2)的多项式有很多，为了保证曲线在 $S$ 区间内具有足够的平滑度，一条 $n$ 次样条，同时应具备处处连续且可微的性质：

$P_{i}^{(j))}(t_{i})=P_{i+1}^{(j))}(t_{i})$ (3)

其中， $i=1,\cdots ,k-1; j=0,\cdots ,n-1$

3. 样条插值法

样条插值：一种以可变样条来作出一条经过一系列点的光滑曲线的数学方法。插值样条是由一些多项式组成的，每一个多项式都是由相邻的两个数据点决定的，这样，任意的两个相邻的多项式以及它们的导数在连接点处都是连续的。(简单理解就是每两个点之间确定一个函数，这个函数就是一个样条，函数不同，样条就不同，所以定义中说可变样条，然后把所有样条分段结合成一个函数，就是最终的插值函数)

3.1 线性插值

两点确定一条直线，可以在两点间画一条直线，就可以把所有点连起来。【显然曲线不够光滑，原因：连接点处导数不相同】

3.2 二次样条

直线不行，用曲线代替，二次函数是最简单的曲线。

假设4个点，x0，x1，x2，x3，有3个区间，需要3个二次样条，每次二次样条为 $ax^2+bx+c$ ,故总计9个未知数。

1. x0，x3两个端点都有一个二次函数经过，可确定2个方程。

2. x1，x2两个中间点都有两个二次函数经过，可确定4个方程。

3. 中间点处必须连续，需要保证左右二次函数一阶导相等 [ $ax^2+bx+c$ 求导为 $2ax+b$ ]

$2a_{1}x_{1}+b_{1}=2a_{2}x_{1}+b_{2}$

$2a_{2}x_{2}+b_{2}=2a_{3}x_{2}+b_{3}$

可确定2个方程，此时有了8个方程

4. 假设第一方程的二阶导为0，即a1=0，又是一个方程，共计9个方程，联立即可求解。

# Python实现 # encoding:utf-8 import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from pylab import mpl """ 二次样条实现 """ x = [3, 4.5, 7, 9] y = [2.5, 1, 2.5, 0.5] def calculateEquationParameters(x): #parameter为二维数组，用来存放参数，sizeOfInterval是用来存放区间的个数 parameter = [] sizeOfInterval=len(x)-1 i = 1 #首先输入方程两边相邻节点处函数值相等的方程为2n-2个方程 while i < len(x)-1: data = init(sizeOfInterval*3) data[(i-1)*3]=x[i]*x[i] data[(i-1)*3+1]=x[i] data[(i-1)*3+2]=1 data1 =init(sizeOfInterval*3) data1[i * 3] = x[i] * x[i] data1[i * 3 + 1] = x[i] data1[i * 3 + 2] = 1 temp=data[1:] parameter.append(temp) temp=data1[1:] parameter.append(temp) i += 1 #输入端点处的函数值。为两个方程,加上前面的2n-2个方程，一共2n个方程 data = init(sizeOfInterval*3-1) data[0] = x[0] data[1] = 1 parameter.append(data) data = init(sizeOfInterval *3) data[(sizeOfInterval-1)*3+0] = x[-1] * x[-1] data[(sizeOfInterval-1)*3+1] = x[-1] data[(sizeOfInterval-1)*3+2] = 1 temp=data[1:] parameter.append(temp) #端点函数值相等为n-1个方程。加上前面的方程为3n-1个方程,最后一个方程为a1=0总共为3n个方程 i=1 while i < len(x) - 1: data = init(sizeOfInterval * 3) data[(i - 1) * 3] =2*x[i] data[(i - 1) * 3 + 1] =1 data[i*3]=-2*x[i] data[i*3+1]=-1 temp=data[1:] parameter.append(temp) i += 1 return parameter """ 对一个size大小的元组初始化为0 """ def init(size): j = 0 data = [] while j < size: data.append(0) j += 1 return data """ 功能：计算样条函数的系数。参数：parametes为方程的系数，y为要插值函数的因变量。返回值：二次插值函数的系数。 """ def solutionOfEquation(parametes,y): sizeOfInterval = len(x) - 1 result = init(sizeOfInterval*3-1) i=1 while i

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