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2023-08-27 15:43| 来源: 网络整理| 查看: 265

σ-代数、可测集和可测空间

$\Omega$ 是样本空间， $F$ 是样本空间 $\Omega$ 的幂集的非空子集，如果 $F$ 满足下列条件：

$\Omega \in F$ 若 $A\in F$ ，则 $A^{c}\in F$ 若 $A_{n}\in F, n=1,2,3...$ ，则 $\bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n}\in F$

则称 $F$ 是 $\Omega$ 上的σ-代数， $F$ 中的元素（一个集合）是可测集，并称 $(\Omega , F)$ 是一个可测空间。

解释 $F$ 是一个集合，其中的每个成员都是集合，即 $F$ 是集合的集合。若 $F$ 是σ-代数，则 $F$ 中的每个集合都是可测集。测度和测度空间

在 $(\Omega , F)$ 是一个可测空间的基础上，令 $\mu:F\rightarrow R^{+}$ 且满足：

（非负性）对任意的 $A\in F$ ，有 $\mu (A) \geqslant 0$ ；（规范性） $\mu (\Phi )=0$ ；（可列可加性）对任意的两两不相交的集合 $A_{1},A_{2}...$ ，有 $\mu(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_{n})=\sum_{n=1}^{\infty}\mu(A_{n)$ ；

则称 $\mu$ 为可测空间 $(\Omega , F)$ 上的测度（measure），且称 $(\Omega , F, \mu)$ 为测度空间（measure space)。

解释在可测空间的基础上，引入一个函数，并要求满足三个条件：非负性、规范性、可列可加性，最终得到了测度空间。概率空间

特别地，当 $\mu(\Omega )=1$ 的时候，称 $\mu$ 为概率测度，记为 $P$ ，并称 $(\Omega , F, P)$ 为概率测度空间，简称概率空间（probability space）。此时，称 $F$ 中的可测集 $A$ 为事件。如果 $A$ 中只有一个元素，称其为基本事件；如果 $A$ 中包含多个元素，称其为复合事件。 $A$ 的测度 $P(A)$ 成为事件A发生的概率。

解释概率空间是测度空间的一个特例，除此之外，还有距离空间、拓扑空间、序空间、代数空间等，这些空间都是基于测度空间引入的。随机变量

$(\Omega , F, P)$ 为概率测度空间，对于任意实数x，都有 {w∈Ω: X(ω)≤x} ∈F，则称X(w)为随机变量，其中w是基本事件。

解释随机变量是一个函数，将一个基本事件（集合中只有一个元素）映射到实轴 $(-\infty ,\infty)$ 上的一个点——实数，本质上是一种数量化的过程。 $(\Omega , F, P)$ 中的概率P不会随着可测空间的映射( $(\Omega , F)\rightarrow (R^{1}, B)$ )而发生改变，因此，随机变量的概率仍是P。由于随机变量处理的对象是基本事件，对于复合事件的处理，需要引入另一个概念——概率分布函数。

讲解基本知识的PPT

概率分布函数

对于离散概率分布函数，随机变量 $X$ 的取值为 $x1=X(w1),x2=X(w2),...,xn=X(wn)$ ，其中 $w1,w2,...,wn$ 是样本空间中的元素——基本事件，可以简写为，随机变量 $X$ 的取值为 $x1,x2,...,xn$ ，并且概率分别为 $p1,p2,...,pn$ ，则定义分布函数为 $F(x)=\sum_{x_ix}P(X=x_i)=\sum_{i}p_i$ 。

解释可以看出，概率分布函数将所有的基本事件集中起来，可以描述复合事件的概率，最大值是1——必然事件。

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