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标准差和方差 差的意思是离正常有多远 标准差标准差是数值分散的测量。 标准差的符号是 σ (希腊语字母 西格马,英语 sigma) 公式很简单:方差的平方根。那么…… "方差是什么?" 方差方差的定义是: 离平均的平方距离的平均。 按照以下的步骤来计算方差: 求数值的 平均从每一个数值减去平均,然后求差的平方。求结果的平均。(为什么要求平方?)例子你和朋友们量度了狗狗的身高(毫米): 狗图肩高身高(到肩膀)是:600mm、470mm、170mm、430mm 和 300mm。 求平均、方差和标准差。 第一步是求平均: 答案:平均 = 600 + 470 + 170 + 430 + 3005 = 19705 = 394 平均身高是 394 mm。我们画在图上: 狗图:平均接着求每条狗和平均的距离: 狗图:差要计算方差,求每个距离的平方,然后求平均: 方差计算方差是 21,704 标准差是方差的平方根: 标准差 σ = √21,704 = 147.32…… = 147 (到最近的毫米) 标准差很有用。 我们现在可以显示哪个高度是在离平均一个标准差(147mm)之内: 狗图:标准差标准差是一个甄别数值是正常与否的"标准"。 罗德维拉犬是高的狗,腊肠犬是矮的狗……但不要告诉它们! 现在去试试 标准差计算器。 可是……如果数据是样本数据以上例子的数据是对象总体的数据(我们的对象就是那 5条狗)。 但如果数据是个样本(只是对象总体的一部分),计算便会有点改变! 如果你有 "N"个数值,而这些数值是: 对象总体:在求方差时除以 N(如上)样本:在求方差时除以 N-1其他的计算步骤不变,包括计算平均在内。 例子:如果我们的 5条狗只是更多狗里的的一个样本,我们便要除以 4,而不是除以 5: 样本方差 = 108,520 / 4 = 27,130 样本标准差 = √27,130 = 164 (到最近的毫米) 想象这是对样本数据的 "修补"。 公式这是在 标准差公式 网页里的两个公式(你可以去看看来了解更多): "对象总体标准差": "样本标准差": 乍看很复杂,但其实只是在计算样本方差时,有个重要的改变: 以除以 N-1 来代替除以 N。 *脚注:为什么要求差的平方?如果我们只把和平均的差加起来……负值和正值便会互相抵消: 4 + 4 − 4 − 44 = 0 这不行。我们可以用绝对值吗? |4| + |4| + |−4| + |−4|4 = 4 + 4 + 4 + 44 = 4 不错(这叫 平均差),但看看这个例子: |7| + |1| + |−6| + |−2|4 = 7 + 1 + 6 + 24 = 4 糟了!数据比较分散,但结果还是 4。 我们来试试求每个差的平方(最后才取平方根): √(42 + 42 + 42 + 424) = √(644) = 4 √(72 + 12 + 62 + 224) = √(904) = 4.74... 好极了!当数据比较分散时,标准差也比较大……正是我们想要的。 其实这个方法和 两点之间的距离 都是基于同一个原理,不过应用不同而已。 同时,用代数来处理平方和平方根比处理绝对值要容易很多,标准差也比较容易被应用在其他数学领域。 样本标准差的理解: 样本标准差的意义是用于估计总体标准差,你需要理解下面2个内容: 1)当你选择一个样本后,相比总体,你拥有数据的数量是变少了,因此,与总体中的数值偏离平均值的程度相比,样本中很有可能把较为极端的数值排除在外,这样使得数值更有可能以更紧密的方式聚集在均值周围。 也就是说,样本的标准差要小于总体标准差。 深蓝区域是距平均值小于一个标准差之内的数值范围,在正态分布中,此范围所占比率为全部数值之68%;两个标准差之内(深蓝,蓝)的比率合起来为95%;三个标准差之内(深蓝,蓝,浅蓝)的比率合起来为99.7%。 所以,为了更好的用样本估计总体的标准差,统计学家就将标准差的公式做了改造:即原来的标准差公式是除以n,为了用样本估计总体标准差,现在是除以n-1。这样就使得标准差略大。弥补了样本的标准差小于总体标准差的不足。 所以很多书上会直接把除以n-1的标准差叫做样本标准,其实这个样本标准差的目的是用于估计总体标准差。 2) 你可能会疑惑,那我什么时候标准差除以n还是n-1呢? 这是由数学推理得出的: 估计量的偏差 |
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