方差是用来度量随机变量和其数学期望（均值）之间的偏离程度的一个统计量。

统计学中（所有样本）的总体方差公式：

σ 2 = ∑ ( X − μ ) 2 N (1-1) \sigma^2=\frac{\sum(X-\mu)^2}{N} \tag{1-1} σ2=N∑(X−μ)2​(1-1) 其中 σ 2 \sigma^2 σ2是总体方差， X X X是随机变量， μ \mu μ是总体均值（有时也用 X ˉ \bar X Xˉ表示）， N N N是总体样本数。这里提到的样本，是基于样本数量 N N N（几乎）无限的假设。对应的各个统计量，也是所有的样本所服从的分布的真实参数，是客观正真实的。

现实情况中，我们往往得不到所有的无限样本，而只能抽样出一定数量的有限样本。通过有限的样本来计算的方差，称为样本方差，公式如下： S 2 = 1 n − 1 ∑ i = 1 n ( X i − X ˉ ) 2 (2-1) S^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^2\tag{2-1} S2=n−11​i=1∑n​(Xi​−Xˉ)2(2-1) 注意上式的系数和总体方差公式里面的系数不一样，分母是 n − 1 n-1 n−1。为什么不用 n n n作为分母呢？这是因为如果沿用总体方差的公式得到的样本方差，是对方差的一个有偏估计。用 n − 1 n-1 n−1作为分母的样本方差公式，才是对方差的无偏估计。

1 n ∑ i = 1 n ( X i − X ˉ ) 2 = 1 n ∑ i = 1 n [ ( X i − μ ) + ( μ − X ˉ ) ] 2 = 1 n ∑ i = 1 n ( X i − μ ) 2 + 2 n ∑ i = 1 n ( X i − μ ) ( μ − X ˉ ) + 1 n ∑ i = 1 n ( μ − X ˉ ) 2 = 1 n ∑ i = 1 n ( X i − μ ) 2 + 2 ( X ˉ − μ ) ( μ − X ˉ ) + ( μ − X ˉ ) 2 = 1 n ∑ i = 1 n ( X i − μ ) 2 − ( μ − X ˉ ) 2 (3-1) \begin{aligned} \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^2&=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\left[(X_i-\mu)+(\mu-\bar X)\right]^2\\ &=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2+\frac{2}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)(\mu-\bar X)+\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(\mu-\bar X)^2\\ &=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2+2(\bar X-\mu)(\mu-\bar X)+(\mu-\bar X)^2\\ &=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2-(\mu-\bar X)^2\\ \tag{3-1} \end{aligned} n1​i=1∑n​(Xi​−Xˉ)2​=n1​i=1∑n​[(Xi​−μ)+(μ−Xˉ)]2=n1​i=1∑n​(Xi​−μ)2+n2​i=1∑n​(Xi​−μ)(μ−Xˉ)+n1​i=1∑n​(μ−Xˉ)2=n1​i=1∑n​(Xi​−μ)2+2(Xˉ−μ)(μ−Xˉ)+(μ−Xˉ)2=n1​i=1∑n​(Xi​−μ)2−(μ−Xˉ)2​(3-1) 换言之，除非正好有 X ˉ = μ \bar X=\mu Xˉ=μ，否则一定会有 1 n ∑ i = 1 n ( X i − X ˉ ) 2 < 1 n ∑ i = 1 n ( X i − μ ) 2 (3-2) \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^2