统计学基础 |
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变量类型:
连续型变量 如:指数分布、正态分布离散型变量 如:二项分布、泊松分布
三者之间的关系
二项分布(Binomial distribution)是n重伯努利试验成功次数的离散概率分布,记作 伯努利试验都可以表达为“是或否”的问题。例如,抛一次硬币是正面向上吗?刚出生的小孩是个女孩吗?等等 如果试验E是一个伯努利试验,将E独立重复地进行n次,则称这一串重复的独立试验为n重伯努利试验。进行一次伯努利试验,成功(X=1)概率为p(020时,Poisson分布可视为近似正态分布。下图表示出了 可加性的运用:分5次,每次都是监测5毫升的水样,得到的 例:某放射性物质半小时内发出的脉冲数服从Poisson分布,平均为 360个,试估计该放射性物质半小时内发出的脉冲数大于400个的概率。 其中,0.5表示连续型校正,表示处理离散型变量,应用到连续型的正态分布的时候,效果更佳的一种修正。 注意:泊松分布不具备可乘性。 指数分布设随机变量X的分布密度函数为 其中
指数分布通常用作各种“寿命”的分布。例如,无线电元件的寿命,动物的寿命等,另外电话问题的通话时间、随机服务系统中的服务时间等都可以认为服从指数分布,因此,它在排队论和可靠性理论等领域中有广泛的应用。 例、某电子元件的使用寿命X是一个连续型随机变量,其概率密度为 (1)确定常数k (2)求寿命超过100小时的概率 (3)已知该元件已经正常使用200小时,求它至少还能正常使用100小时的概率。 解: (1)由概率密度函数性质2知
(2)寿命超过100小时的概率为 (3)条件概率 由(2),(3)可知,该元件寿命超过100小时的概率等于已使用200小时的条件下至少还能使用100小时的概率,这个性质称为指数分布的“无记忆性”。 若随机变量X对任意的 因此,指数分布具有无记忆性,若某元件或动物的寿命服从指数分布,则上式表明,如果已知寿命长于s年,则再“活”t年的概率与s无关,即对过去的s时间没有记忆,也就是说只要在某时刻s仍“活”着,它的剩余寿命的分布和原来的寿命分布相同,所以人们也戏称指数分布是“永远年轻的”。 正态分布(Normal distribution)正态分布的概率密度函数(即纵向的曲线高度)
概率分布函数即为正态概率密度曲线下的面积 。
均数为0,标准差为1的正态分布,这种正态分布称为标准正态分布。 对于任意一个服从正态分布 其中, 标准正态分布方程积分式(概率分布函数):
用查表代替计算必须注意: 表中曲线下面积为正态分布是一种对称分布,其对称轴为直线 理论上: 实际上: 实际应用中,我们一般将1.96看似成2,2.58看似成3。 标准正态分布的 例: 已知某地1986年120名8岁男童身高均数 (1)先做标准化转换:
理论上该地8岁男孩身高在130 (2)
(3) 查标准正态分布界值表,标准正态分布曲线下左侧面积为0.10所对应的 制定参考值范围的步骤: 选择足够数量的正常人作为调查对象。样本含量足够大。确定取单侧还是取双侧正常值范围。有些指标过高过低都是异常的,我们需要制定双侧的正常值范围 有些指标过低才是异常的,比如肺活量,我们只要制定单侧的正常值范围 选择适当的百分界限。在实际操作当中,我们一般将正常人中的5%排除在外,计算95%参考值范围。 选择适当的计算方法。正态近似法:适用于正态分布或近似正态分布的资料。 例1 某地调查120名健康女性血红蛋白,直方图显示,其分布近似于正态分布,得均数为117.4g/L,标准差为10.2g/L ,试估计该地正常女性血红蛋白的95%医学参考值范围。 分析:正常人的血红蛋白过高过低均为异常,要制定双侧正常值范围。 该指标的95%医学参考值范围为97.41~137.39(g/L) 百分位数法:适用于偏态分布资料。 例2 某年某市调查了200例正常成人血铅含量(μg/100g) 如下,试估计该市成人血铅含量的95%医学参考值范围。 分析:血铅的分布为偏峰分布,且血铅含量只以过高为异常,要用百分位数法制定单侧上限。
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