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正态分布概率密度函数为

f ( x ) = 1 2 π σ e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}} f(x)=2π ​σ1​e−2σ2(x−μ)2​

E ( x ) = ∫ − ∞ + ∞ x f ( x ) d x = ∫ − ∞ + ∞ 1 2 π σ x e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 d x = ∫ − ∞ + ∞ 1 2 π σ ( x − μ ) e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 d x + μ ∫ − ∞ + ∞ 1 2 π σ e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 d x = ∫ − ∞ + ∞ 1 2 π σ x e − x 2 2 σ 2 d x + μ ∫ − ∞ + ∞ f ( x ) d x = μ \begin{aligned} E\left ( x \right )&=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx\\ &=\int_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}xe^{-\frac{\left(x-\mu\right)^{2}}{2\sigma^{2}}}dx\\ &=\int_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}(x-\mu)e^{-\frac{\left(x-\mu\right)^{2}}{2\sigma^{2}}}dx+\mu\int_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{\left(x-\mu\right)^{2}}{2\sigma^{2}}}dx\\ &=\int_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}xe^{-\frac{x^{2}}{2\sigma^{2}}}dx+\mu\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx\\ &=\mu \end{aligned} E(x)​=∫−∞+∞​xf(x)dx=∫−∞+∞​2π ​σ1​xe−2σ2(x−μ)2​dx=∫−∞+∞​2π ​σ1​(x−μ)e−2σ2(x−μ)2​dx+μ∫−∞+∞​2π ​σ1​e−2σ2(x−μ)2​dx=∫−∞+∞​2π ​σ1​xe−2σ2x2​dx+μ∫−∞+∞​f(x)dx=μ​

上式倒数第二行中第一项被积函数为奇函数，故积分结果为0.

A式

∫ − ∞ + ∞ f ( x ) d x = ∫ − ∞ + ∞ 1 2 π σ e − x 2 2 σ 2 d x = 1 2 π σ [ ( x e − x 2 2 σ 2 ) − ∞ + ∞ − ∫ − ∞ + ∞ x d e − x 2 2 σ 2 ] = ∫ − ∞ + ∞ 1 2 π σ 3 x 2 e − x 2 2 σ 2 = 1 \begin{aligned} \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx&=\int_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{x^{2}}{2\sigma^{2}}}dx\\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\left [ \left ( xe^{-\frac{x^{2}}{2\sigma^{2}}} \right )_{-\infty}^{+\infty} -\int_{-\infty }^{+\infty }xde^{-\frac{x^{2}}{2\sigma^{2}}}\right] \\ &=\int_{-\infty }^{+\infty }\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma^{3}}x^{2}e^{-\frac{x^{2}}{2\sigma^{2}}}\\ &=1 \end{aligned} ∫−∞+∞​f(x)dx​=∫−∞+∞​2π ​σ1​e−2σ2x2​dx=2π ​σ1​[(xe−2σ2x2​)−∞+∞​−∫−∞+∞​xde−2σ2x2​]=∫−∞+∞​2π ​σ31​x2e−2σ2x2​=1​

该式通过概率密度函数特性（归一性）得来

上式第二行使用了分部积分

B式

D ( x ) = E [ ( x − μ ) 2 ] = ∫ − ∞ + ∞ 1 2 π σ ( x − μ ) 2 e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 d x = ∫ − ∞ + ∞ 1 2 π σ x 2 e − x 2 2 σ 2 \begin{aligned} D(x)&=E\left[(x-\mu)^2\right]\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}(x-\mu)^2e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}dx\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}x^2e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}} \end{aligned} D(x)​=E[(x−μ)2]=∫−∞+∞​2π ​σ1​(x−μ)2e−2σ2(x−μ)2​dx=∫−∞+∞​2π ​σ1​x2e−2σ2x2​​ A式结果代入可得 D ( x ) = σ 2 D(x)=\sigma^2 D(x)=σ2