三元二次方程Ax^2+By^2+Cz^2+Dxy+Eyz+Fzx+Gx+Hy+Iz+J=0（二次项系数不全为0）的图形通常（注意是通常）为二次曲面，其基本类型有柱面、锥面、椭球面、双曲面、抛物面

        二次曲面有12种：圆柱面、椭圆柱面、双曲柱面、抛物柱面、圆锥面、椭圆锥面（二次锥面）、球面、椭球面、单叶双曲面、双叶双曲面、椭圆抛物面、双曲抛物面

柱面——圆柱面、椭圆柱面、双曲柱面、抛物柱面

       平行定直线并沿定曲线C移动的直线l形成的轨迹叫做柱面。C叫做准线，l叫做母线。

       圆柱面：准线为圆，母线为垂直于圆所在平面的直线所形成的曲面。

       椭圆柱面：准线为椭圆，母线为垂直于椭圆所在平面的直线所形成的曲面。

       双曲柱面：准线为双曲线，母线为垂直于双曲线所在平面的直线所形成的曲面。

       抛物柱面：准线为抛物线，母线为垂直于抛物线所在平面的直线所形成的曲面。

常见柱面标准方程（注意和平面曲线方程进行对比）

       圆柱面：x^2+y^2=R^2

       椭圆柱面：x^2/a^2 +y^2/b^2 =1

       双曲柱面：x^2/a^2 -y^2/b^2 =1

       抛物柱面：y^2=2px

       当然也存在母线与x轴/y轴平行的柱面，规律是：在三维空间中，如果一个表示柱面的方程不含某个坐标分量，则该柱面的准线平行于该坐标分量对应的坐标轴。

锥面——圆锥面和椭圆锥面

       圆锥面：两条相交直线：y^2/a^2 -z^2/b^2 =0，x=0绕z轴一周得圆锥面：(x^2+y^2)/a^2 -z^2/b^2 =0

       椭圆锥面：顶点在原点，且准线为x^2/a^2 +y^2/b^2 =1，z=c的锥面方程为：x^2/a^2 +y^2/b^2 -z^2/c^2 =0

       这两个很简单，没啥好说的。不过同济教材用伸缩变形的方法得出椭圆锥面的形状，其中蕴涵的仿射变换思想倒是值得品味。

椭球面——球面和椭球面

       球面：球心在(x0,y0,z0)，半径为R的球面标准方程为：(x-x0)^2+(y-y0)^2+(z-z0)^2=R^2。特殊地，球心为原点的球面方程为：x^2+y^2+z^2=R^2

       球面的一般方程为：x^2+y^2+z^2+Ax+By+Cz+D=0

       配方可得：(x+A/2)^2+(y+B/2)^2+(z+C/2)^2=(A^2+B^2+C^2-4D)/4

       当A^2+B^2+C^2-4D>0时，上述方程表示一个球心为(-A/2,-B/2,-C/2)，半径为

R=√(A^2+B^2+C^2-4D)/2的球面（和圆非常类似，没啥好说的）

       椭球面的标准方程：x^2/a^2 +y^2/b^2 +z^2/c^2 =1(a,b,c>0)

       两种特殊情况：

       （1）a=b时称为旋转椭球面，它是由椭圆x^2/a^2 +y^2/b^2 =1，y=0绕z轴旋转而成。方程可写为：(x^2+y^2)/a^2 +z^2/c^2 =1

       （2）a=b=c时，椭球面变成球面

       类比平面上的椭圆可以得出一些椭球面的简单性质：

       （1）范围：椭球面上点的坐标满足：|x|≤a,|y|≤b,|z|≤c。也就是说，椭球面被封闭在一个长方体内部

       （2）对称性：椭球面具有很强的对称性：当点(x,y,z)在椭球面上时，点(±x,±y,±z)（正负号可任意选取）也在椭球面上。这说明椭球面关于三个坐标平面（称为椭球面的主平面）、三个坐标轴（称为椭球面的主轴）、原点（称为椭球面的中心）都是对称的。

       （3）顶点与半轴：椭球面与三个对称轴的三对交点称为椭球面的顶点，它们是(±a,0,0),(0,±b,0),(0,0,±c)。如果a>b>c，则a,b,c称为椭球面的长半轴、中半轴、短半轴。

       （4）椭球面与三个坐标平面的交线：

       与x0y平面：x^2/a^2 +y^2/b^2 =1，z=0

       与z0x平面：x^2/a^2 +z^2/c^2 =1，y=0

       与y0z平面：y^2/b^2 +z^2/c^2 =1，x=0

       （5）用平行于坐标轴的平面截割椭球面：

       用平面z=h截割椭球面，截口曲线的方程为：x^2/a^2 +y^2/b^2 =1-h^2/c^2，z=h

       当|h|>c时，方程不表示任何图形，此时平面z=h与椭球面不相交；

       当|h|=c时，方程的图形是一个点(0,0,h)，表示平面z=h与椭球面相切；

       当|h|0)

       特殊情况：当a=b时，称其为单叶旋转双曲面，它是由双曲线y^2/b^2 -z^2/c^2 =1，x=0绕z轴旋转而成的，它的方程可写成：(x^2+y^2)/b^2 -z^2/c^2 =1

       单叶双曲面的简单性质：

       （1）范围：方程表示一个无界曲面

       （2）对称性：方程关于三坐标平面对称，关于三坐标轴对称，关于原点对称

       （3）顶点：曲面与z轴无交点，与x轴，y轴相交，交点(±a,0,0),(0,±b,0)

       （4）单叶双曲面与三个坐标平面的交线：

       与xOy平面：x^2/a^2+y^2/b^2 =1，z=0

       与zOx平面：x^2/a^2-z^2/c^2 =1，y=0

       与yOz平面：y^2/b^2-z^2/c^2 =1，x=0

       （5）用平行于坐标轴的平面截割单叶双曲面：

       用y=h截割单叶双曲面，截口曲线的方程为：x^2/a^2 -y^2/c^2 =1-h^2/b^2，z=h

       当|h|>b时，方程表示双曲线；

       当|h|=b时，方程表示两条直线，这两条直线相交于(0,b,0)；

       当|h|0)

       特殊情况：当a=b时，称其为双叶旋转双曲面，它是由双曲线-y^2/b^2 +z^2/c^2 =1，x=0绕z轴旋转而成的，它的方程可写成：(x^2+y^2)/b^2 -z^2/c^2 =-1

       双叶双曲面的性质：

       （1）范围：曲面分成z≥c和z≤-c两叶

       （2）对称性：方程关于三坐标平面对称，关于三坐标轴对称，关于原点对称

       （3）顶点：曲面与x轴,y轴无交点，与z轴相交，交点(0,0,±c)

       （4）双叶双曲面与三个坐标平面的交线：

       z^2/c^2 -x^2/a^2 =1，y=0和z^2/c^2 -y^2/b^2 =1，x=0分别是用zOx面和yOz面截曲面所得的曲线，而用xOy面截双曲面则无交点。

       （5）用平行于坐标轴的平面截割双叶双曲面：

       用z=h截割曲面，截口曲线为：x^2/a^2 +y^2/b^2 =h^2/c^2 -1，z=h

       当|h|c时，平面z=h与双叶双曲面相交，交线是一个椭圆

二次锥面与双曲面的关系

       考虑三个曲面

       单叶双曲面：x^2/a^2 +y^2/b^2 -z^2/c^2 =1；

       双叶双曲面：x^2/a^2 +y^2/b^2 -z^2/c^2 =-1；

       二次锥面：x^2/a^2 +y^2/b^2 -z^2/c^2 =0

       用平行于xOy坐标面的平面z=h(|h|>c) 去截三个曲面，所得截线方程为：

       它们都是椭圆，具有相同的中心和对称轴，并且曲面对应的半轴分别为：

       不难注意到它们的半轴的比相等，即b1/a1=b2/a2/b3/a3=b/a。所以在平面z=h上截线椭圆的形状相似，很明显有a20时，双曲线的实轴平行于x轴；当h0时，方程表示椭圆抛物面

②ABr>0)绕y轴旋转所成的曲面方程为：

(x^2+y^2+z^2+R^2-r^2 )^2=4R^2 (x^2+z^2 )——是个环面