------ 本文是学习算法的笔记，《数据结构与算法之美》，极客时间的课程 ------

文本编辑器中的查找功能，我想你应该很熟悉吧？比如，我在Word 中把一个单词统一替换成另一个，用的就是这个功能。你有没有想过，它是怎么实现的呢？

当然，你用上一节讲的BF算法和PK算法，也可以实现这个功能，但是在某些极端情况下，BF算法性能会退化的比较严重，而PK算法需要用到哈希算法，而设计一个可以泽各种类型字符的哈希算法并不简单。

对于工业级的软件开发来说，我们希望算法尽可能的高效，并且在极端情况下，性能也不要退化的太严重。那么，对于查找功能是重要功能的软件来说，比如一些文本编辑器，它们的查找功能都是哪种算法来实现的呢？有没有比BF算法和RK算法更加高效的字符串匹配算法呢？

今天，我们就来学习BM(Boyer-Moore)算法。它是一种非常高效的字符串匹配算法，有实验统计，它的性能是著名的KMP算法的三四倍。BM算法的原理很多复杂，比较难懂，学起来比较烧脑。

我们把模式串和主串的匹配过程，看作模式串在主串中不停地往后滑动。当遇到不匹配的字符时，BF算法和RK算法的做法是，模式串往后滑动一位，然后从模式串的第一个字符开始重新匹配。我举个例子解释一下，可参照下图。

在这个例子里，主串中的 c，在模式串中不存在的，所以，模式串向后滑动的时候，只要 c 与模式串有重合，肯定无法匹配。所以，我们可以一次性把模式串往后多滑动几位，把模式串移动到 c 的后面。

由现象找规律，你可以思考一下，当遇到不匹配的字符时，有什么固定的规律，可以将模式串往后多滑动几位呢？这样一次性往后滑动好几位，那匹配的效率岂不就提高了？

我们今天要讲的BM算法，本质上其实就是在寻找这种规律。借助这种规律，在模式串与主串的匹配过程中，当模式串和主串某个字符不匹配的时候，能够跳过一些肯定不会匹配的情况，将模式串往后多滑动几位。

BM算法包含两部分，坏字符规则（bad character rule）和好后缀规则（good suffix shift）。

1、坏字符规则

前面两节讲的算法，在匹配的过程中，我们都是按模式串的下标从小到大的顺序，依次与主串中的字符进行匹配的。这种匹配顺序比较符合我们的思维习惯，而BM算法的匹配顺序比较特别，它是按照模式串下标从大到小的顺序，倒着匹配的。

我们从模式串的末尾往前倒着匹配，当我们发现某个字符没法匹配的时候。我们把这个没有匹配的字符叫作坏字符（主串中的字符）。

我们拿坏字符 c 在模式串中查找，发现模式串中并不存在这个字符，也就 是说，字符 c 与模式串中的任何字符都不可能匹配。这个时候，我们可以将模式串直接往后滑动三位，将模式串滑动到 c 后面的位置，再从模式串的末尾字符开始比较。

这个时候，我们发现，模式串中最后一个字符 d，还是无法跟主串中的 a 匹配，这个时候，还能将模式串往后滑动三位吗？答案是不行的。因为这个时候，坏字符 a 在模式串是存在的，模式串中下标是0的位置也是字符a。这种情况下，我们可以将模式串往后滑动两位，让两个a 上下对齐，然后再从模式串的末尾字符开始，重新匹配。

同样是不匹配，到底滑动多少位呢？有没有规律呢？

当发生不匹配的时候，我们把坏字符对应的模式串中的字符下标记作 si。如果坏字符在模式串中存在，我们把这个坏字符在模式串中的下标记作 xi。如果不存在，我们把 xi记作-1.那模式串往后移动的位数就等于 si-xi。（注意，这里的下标，都是字符串在模式串的下标）。

这里要特别说明的是，如果坏字符在械串里多处出现，那我们在计算 xi 的时候，选择最靠后的那个。

利用坏字符规则，BM算法在最好情况下的时间复杂度非常低，是O(n/m)。比如，主串是 aaabaaabaaabaaab，模式串是aaaa。每次比对，模式口中可以直接后移四位，所以，匹配具有类似特点的模式串和主串的时候，BM算法非常高效。

不过，单纯使用坏字符规则是不够的。因为 si-xi计算出来的移动位数，有可能是负数。比如主串是aaaaaaaaaa，模式串是baaa。BM算法还需要用到“好后缀规则”

2、好后缀规则

好后缀实际上跟坏字符规则的思路很类似。如下图，当模式串滑动到图中位置的时候，模式串和主串有2个字符是匹配的，倒数第3个字符发生了不匹配的情况。

我们把已经匹配的bc叫作好后缀，记作{u}。我们拿它在模式串中查找，如果找到了另一个{u}相匹配的子串{u*}，那我们就将模式串滑动到子串{u*}与主串中{u*}对齐的位置。

如果在模式串中找不到另一个等于{u}的子串，我们就直接将模式串，滑动到主串中{u}的后面，因为之前的任何一次往后滑动，都没有匹配主串中{u}的情况。

不过，当模式串中不存在等于{u}的子串时，我们直接将模式串滑动到主串{u}的后面。这样做是否有点太过关呢？如下图，想想是否会错过模式串和主串可以匹配的情况？

如果好后缀在模式串不不存在可匹配的子串，那在我们一步一步往后滑动模式串的过程中，只要主串中的{u}与模式串有重合，那肯定就无法完全匹配。但是当模式串滑动到前缀与主串中的{u}的后缀有部分重合的时候，并且重合的部分相等的时候，就有可能会存在完全匹配的情况。

所以，针对这种情况，我们不仅要看好后缀在模式串中，是否有另一个匹配的子串，我们还要考察好后缀的后缀子串，是否存在跟模式串的前缀子串匹配的。

所谓某个字符串 s 的后缀子串，就是最后一个字符跟s对齐的子串，比如abc的后缀子串就包括c,bc。所谓前缀子串，就是起始字符跟 s 对齐的子串，比如abc的前缀子串有a,ab。我们从好后缀的后缀子串中，找一个最长的并且能跟模式串的前缀子串匹配的，假设是{v}，然后将模式串滑动到如图所示的位置。

当模式串和主串中的某个字符不匹配的时候，如何选择用好后缀规则还是坏字符规则，来计算模式串往后滑动的位数？可分别计算好后缀和坏字符往后滑动的位数，然后取两者中的最大的，作为模式串往后滑动的位数。这种处理方法，可以避免我们前面提到的，坏字符规则里滑动位数为负的情况。

现在来看下，如何实现BM算法？

“坏字符规则”本身不难理解。当遇到坏字符时，要计算后移的位数 si-xi，其中 xi的计算是重点。

如果我们拿到坏字符，在模式串中顺序遍历查找，这样会比较低效，势必影响这个算法的性能。有没有更加高效的方式呢？我们之前学的散列表，这里可派上用场了。我们可以将模式串中的每个字符及其下标都存在散列表中。这样就右以快速找到坏客随主便在模式串的位置下标了。

关于这个散列表，我们只实现一种最简单的情况，假设字符串的字符集不是很大，每个字符长度是1字节，我们用大小为256的数组，来记录每个字符在模式串中出现的位置。数组的下标对应字符的ASCII码值，数组中存储这个字符在模式串中出现的位置。

如果将上面的过程翻译成代码，就是下面这个样子。其中，变量 b 是模式串，m 是模式串的长度，bc 表示刚刚讲的散列表。

掌握了坏字符规则之后，我们先把BM算法的大框架写好，先不考虑好后缀规则，仅用坏字符规则，并且不考虑 si-xi 计算得到的移动位数可能会出现负数的情况。

下图，将其中的一些关键变量标注在上面了，结合代理，更容易理解

到此，我们已经实现了包含坏字符规则的框架代码，只剩下往框架代码中填充好后缀规则了。现在，我们就来看看，如何实现好后缀规则。它的实现要比坏字符复杂一些。

在讲实现之前，我们先简单回顾一下，前面讲过好后缀的处理中最核心的内容：

在不考虑效率的情况下，这两个操作都可以用很“暴力”的匹配查找方式解决。但是，如果想要BM算法的效率很高，这部分就不能太低效，如何来做呢？

因为好后缀也是模式串本身的后缀子串，所以，我们可以在模式串和主串匹配之前，通过预处理模式串，预先计算好模式串的每个后缀子串，对应的另一个可匹配子串的位置。这个预处理过程比较有技巧，很不好懂，应该是这节最难懂的内容了，可以多看几遍。

先来看下，**如何表示模式串中不同的后缀子串呢？**因为后缀子串的最后一个字符的位置是固定的，下标为 m-1，我们只需要记录长度就可以了。通过长度，我们可以确定一个唯的后缀子串。

现在，我们要引入最关键的变量suffix数组。suffix数组的下标k，表示后缀子串的长度，下标对应的数组值存储的是，在模式串中跟好后缀{u}相匹配的子串{u*}的起始下标值。这句话不好理解，我举一个例子。

但是，如果模式串中有多个（大于1个）子串跟后缀子串{u}匹配，那suffix数组中该存储哪一个子串的起始位置呢？为为避免模式串往后滑动的过头了，我们肯定在存储模式串中最先后的那个子串的起始位置，也就是下标最大的那个子串的起始位置。不过，这样处理就足够了吗？

我们不仅要在模式串中，查找跟后缀匹配的另一个子串，还要在好后缀的后缀子串中，查找最长的能跟模式串前缀子串匹配的后缀子串。

如果我们只记录刚刚定义的suffix，实际上，只能处理规则的前半部分，也就是，在模式串中，查找跟好后缀匹配的另一个子串。所以，除了suffix数组之外，我们还需要另外一个boolean类型的prefix数组，来记录模式串的后缀子串是否能匹配模式串的前缀子串。

现在，我们来看下，如何来计算并填充这两个数组的值？这个计算过程非常巧妙。

我们拿下标从0到 i 的子串（i 可以是0到 m-2）与整个模式串，求公共后缀子串。如果公共后缀子串的长度是k，那我们就记录 suffix[k] = j（j 表示公共后缀子串的起始下标）。如果 j 等于0，也就是说公共后缀子串也是模式串的前缀子串，我们就记录prefix[k] =true。

有了这两个数组之后，我们现在来看，在模式串跟主串匹配的过程中，遇到不能匹配的字符时，如何根据好后缀规则，计算模式串往后滑动的位数？

假设好后缀长度是k。我们先拿好后缀，在suffix数组中查找其匹配的子串。如果suffix[k]不等于-1（-1表示不存在匹配的子串），那我们就将模式串往后移动 j-suffix[k]+1位（j 表示坏字符对应的模式串中的字符下标）。如果suffix[k]表示-1，表示模式串中存在另一个跟好后缀匹配的子串片段。我们可以用下面这条规则来处理。

好后缀的后缀子串 b[r, m-1]（其中，r 取值从j + 2 到 m - 1）的长度 k=m-r，如果prefix[k] 等于true，表示长度为 k 的后缀子串，有可匹配的前缀子串，这样我们可以把模式串后移 r 位。

如果两条规则都没有找到可以匹配好后缀及其后缀子串的子串，我们就将整个模式串后移 m 位。

到此，好后缀的代码实现我们也讲完了。我们把好后缀规则回到前面的代码框架里，就可以得到BM算法的完整版代码实现。

我们先来分析BM算法的内存消耗。整个算法用到了额外的3个数组，其中bc数组的大小跟字符集大小有关，suffix数组和prefix数组大小跟模式串长度 m 有关。

如果我们处理字符集很大的字符串匹配问题，bc数组对内存的消耗就会比较多。因为好后缀和环字符是独立的，如果我们运行环境对内存要求苛刻，可以只使用好后缀规则，不使用坏字符规则，这样就可以避免 bc 数组过多的内存消耗。不过，单纯使用好后缀规则的 BM 算法的效率就会下降一些了。

对执行效率来说，我们可以先从时间复杂度的角度来分析。

实际上，我前面讲的 BM 算法是个初级版，为了让你能更容易理解，有些复杂的优化我没有讲。基于我目前讲的这个版本，在极端情况下，预处理计算suffix数组、prefix数组的性能会比较差。

今天，讲了一种比较复杂的字符串匹配算法——BM算法。尽管复杂、难懂，但匹配的效率却很高，在实际的开发中，特别是一些文本编辑器中，应用比较多。如果一遍看不懂，可以多看几遍。

BM算法核心思想是，利用模式串本身特点，在模式串中某个字符与主串不能匹配的时候，将模式串往后多滑动几位，以此来减少不必要的字符比较，提高匹配的效率。BM算法构建的规则有两类，坏字符规则和好后缀规则。好后缀规可以独立于坏字符规则使用。因为坏字符规则的实现比较耗内存，为了节省内存，我们可以只用好后缀规则来实现BM算法。