初学讲义之高中数学二十四:导数 |
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初中物理开始学的难一些了,开始学速度随时间变化的运动了,比如自由落体运动,涉及到两个公式: 公式v=gt的含义大家应该都清楚,g是重力加速度,约为9.8 m/s^{2},表示自由落体运动的物体的速度每秒会增加9.8m/s 还是为了方便起见,我们用x代表时间(代替t),g(x)代表速度,9.8代替g,上述公式就是函数: g(x)=9.8x 对该函数求导可得: g'(x)=9.8 ,这就是速度的变化趋势,任何时候速度都有随着时间增加9.8 m/s^{2}的趋势 另一个公式 s=gt^{2}/2 就要稍微麻烦点了,它表示物体从静止开始自由落体下落的距离和时间的关系 例1中我们用f(x)代替了距离s,这里也这么做;例1和上面都用x代替时间t,这里也这么做;也用具体数字9.8代替g,上述公式就变成了函数: f(x)=9.8x^{2}/2 (这里的9.8和2不要约分,留着后面有用) 对这个函数求导可得: f'(x)=9.8x (具体如何求导后面会讲,这里先用结论),这就是下落距离随时间变化的关系,有没有觉得眼熟? 上面刚刚写了 g(x)=9.8x ,这里f'(x)也等于9.8x,因此f'(x)=g(x) 再回想例1中讲到的速度的定义:距离随时间的变化率,这里f'(x)就是距离随时间的变化率,也就是g(x) 自由落体运动的速度随时间改变,除了用加速度乘以时间外,直接对距离-时间的函数求导,得到的就是距离-时间的变化率,也就是速度。 以上两个例子应该比较形象地说明了什么是导数:就是变化率。 二、基本函数的导数基本函数导数的推导超出了高中的要求,内容比较多,需要花相当时间和精力理解,对高考的帮助接近于零,因此不再给出,需要牢牢地记下来。 注意: 以下基本函数都是最最基本的函数,也就是说除了x和必须的部分外,不能有其他任何“杂质”。 比如单项式函数就是 x^{c} (c为常数且c≠0),不是 (x+2)^{c} 、 2x^{c}、 (2x)^{c} 等。 对数函数就是 lnx 、 log_{a}x ,不是 log_{a}(3x) 、 log_{a}(x+4) 等。 不能对x作出任何改变, 2.1 常数函数的导数 f(x)=c (c为常数) f'(x)=0 任何常数函数的导数都为0 这很容易理解,常数函数的值是常数不发生变化,也不随着x变化而变化,变化率就是0。 对应到图像上,它的图像是一条水平的直线,任意位置的切线也是水平的。 举例如下图: f(x)=1 (左图,黑色), f'(x)=0 (右图,红色) 2.2 单项式函数的导数 单项式函数:f(x)=x^{a} (a≠0),它的导数为:f'(x)=ax^{a-1} 这里要特别注意的是a≠0,如果a=0就成了常数函数 f(x)=1 对任何非0的a,包括正数负数、整数分数、有理数无理数,上式都成立 这个公式可以理解为“降了一级”,就是任何单项式函数,取一次导数,就在它的前面乘以原次数,然后把次数减一。 比如次数是1: f(x)=x ,它的导数是 f'(x)=1*x^{1-1} ,也就是 f'(x)=1 比如次数是2: f(x)=x^{2} ,它的导数是 f'(x)=2*x^{2-1} ,也就是 f'(x)=2x 比如次数是1/2:f(x)=x^{1/2} ,(写作f(x)=\sqrt{x}更习惯),它的导数是 f'(x)=(1/2)*x^{1/2-1} ,也就是 f'(x)=x^{-1/2}/2,(写作f(x)=1/(2\sqrt{x})更习惯) 比如次数是3.5:f(x)=x^{3.5},(也可以写作f(x)=x^{3}\sqrt{x}),它的导数是 f'(x)=3.5*x^{3.5-1} ,也就是 f'(x)=3.5x^{2.5},(也可以写作f(x)=3.5x^{2}\sqrt{x}) 比如次数是-3:f(x)=x^{-3} ,(写作f(x)=1/x^{3}更习惯),它的导数是 f'(x)=(-3)*x^{-3-1} ,也就是 f'(x)=-3x^{-4},(写作f(x)=-3/x^{4}更习惯) 比如次数是e:f(x)=x^{e} ,它的导数是 f'(x)=e*x^{e-1} 总之,只要次数不是0,只要直接在系数上乘以次数,再把次数减一就行了。 以下是上面几个例子像,要留意相同x值对应的原函数值和导数的值(e用2.71828近似): 例1: f(x)=x (左图,黑色), f'(x)=1 (右图,红色) 当x取任何值时,函数在该处的切线斜率不变,都为1 例2: f(x)=x^{2} (左图,黑色), f'(x)=2x (右图,红色) 当x<0时, f'(x)<0 ,函数是递减的,且当x越大(负数绝对值越小)时,函数递减得越慢 当x>0时, f'(x)>0 ,函数是递增的,且当x越大时,函数递增得越快 当x=0时, f'(x)=0 ,函数在此处取最小值。 例3:f(x)=\sqrt{x} (左图,黑色), f'(x)=1/(2\sqrt{x}) (右图,红色) 函数的定义域x∈[0,+∞),导数在x=0处无意义 原函数是递增的,从图像上看增加得越来越慢 从导数上来看,导数始终是正的,印证了原函数是递增的,导数是递减的,从数学上印证了原函数增加得越来越慢 例4:f(x)=x^{3.5} (左图,黑色), f'(x)=3.5x^{2.5} (右图,红色) 这个没太多好说的,导数>0,原函数是递增的;并且导数是递增的,原函数越增越快 例5:f(x)=x^{-3} (左图,黑色), f'(x)=-3x^{-4} (右图,红色) 原函数分为两段: 当x∈(-∞,0)时,函数值<0,并且是单调递减的(负数绝对值越来越大) 当x∈(0,+∞)时,函数值>0,并且也是单调递减的 导数也分为两段: 当x∈(-∞,0)时,导数值<0,印证原函数递减,并且导数值递减,说明原函数越减越快(负数绝对值越增越快) 当x∈(0,+∞)时,导数值还是<0,印证原函数还是递减,但此时导数值递增,说明原函数越减越慢 例6:f(x)=x^{e} (左图,黑色), f'(x)=ex^{e-1} (右图,红色) 这个跟例4: f(x)=x^{3.5} 类似,主要是说明下指数是无理数的情况 2.3 指数函数的导数 指数函数 f(x)=a^{x} ,它的导数为: f'(x)=a^{x}lna 就是在原函数后面乘以lna就行,注意通常指数函数中底数a>0且a≠1 特别的,当a=e(自然对数的底)时, f(x)=e^{x} 的导数为:f'(x)=e^{x}lne 由于lne=1,因此 f'(x)=e^{x} 下面举两个简单的例子: 例1:f(x)=2^{x} (黑色), f'(x)=2^{x}ln2 (红色) 可以看出,导数的图像和原函数很像的,就是低了些,因为它多了系数ln2(约为0.693) 导数恒>0,原函数是递增的 导数越来越大,原函数增加得越来越快 例2:f(x)=(1/2)^{x} (黑色), f'(x)=(1/2)^{x}ln(1/2) (红色) 由于 ln(1/2)=ln2^{-1}=-ln2≈-0.693 ,导函数相当于原函数乘以了ln(1/2),因此是<0的,由此可知原函数是单调递减的 导函数随着x递增(负数绝对值减小),因此原函数递减得越来越慢 2.4 对数函数的导数 不知道有没有细心的同学注意到,在2.2 单项式函数的导数中,几乎全部的系数都被考虑到了,只有一个例外,就是当系数为0的情况,此时是常数函数。 但是对函数求导后,导数的次数也覆盖了几乎所有的次数,但是有个例外,就是次数为-1的情况,也就是对于任何基本的单项式函数求导,都得不到形如 x^{-1}的导数。 因为按照求导公式,当次数为0时,导数的次数是0-1=-1,但实际上当次数为0时,常数函数的导数恒为0。 对数函数弥补了这个“导数中x的次数为-1”的“空白”。 对数函数 f(x)=lnx ,它的导数为:f'(x)=1/x 对数函数 f(x)=log_{a}x ,它的导数为:f'(x)=1/(xlna) 这其实是一个公式 根据换底公式: log_{a}x=lnx/lna 由于a是常数,因此lna也是常数 因此f(x)=log_{a}x 也可以看做是 f(x)=lnx/lna 根据导数的性质(后面会讲),函数整体乘以一个常数,则它的导数就是原函数的导数乘以那个常数 因此 f(x)=lnx/lna的导数就是 f(x)=lnx 的导数再乘以 1/lna 具体例子: 左图中黑色曲线为 f(x)=lnx ,蓝色曲线为 g(x)=log_{2}x (或 g(x)=(1/ln2)*lnx ) 右图中红色曲线为 f'(x)=1/x ,粉色曲线为 g'(x)=1/(x*ln2) 可以看出,两个函数都是递增的,它们的导数也都是正的 两个函数递增得越来越慢(图像越来越“趴下”),导数也都是逐渐减小的 当x>1时,0<f(x)<g(x),因为g(x)=f(x)/ln2,而ln2<1 当x<1时,g(x)<f(x)<0,因为|g(x)=f(x)/ln2|,负数的绝对值越大,负数越小 二者的导数都是>0的,因此g'(x)>f'(x) 2.5 三角函数的导数 对三角函数 f(x)=sinx ,它的导数为: f'(x)=cosx 对三角函数 f(x)=cosx ,它的导数为: f'(x)=-sinx 对三角函数 f(x)=tanx ,它的导数为: f'(x)=1/cos^{2}x=sec^{2}x 对三角函数 f(x)=cotx ,它的导数为: f'(x)=-1/sin^{2}x=-csc^{2}x 对三角函数 f(x)=secx ,它的导数为: f'(x)=sinx/cos^{2}x=secx*tanx 对三角函数 f(x)=cscx ,它的导数为: f'(x)=-cos^{2}x/sinx=-secx*cotx 这里面前2个最重要,需要牢记,也最容易记。 后面4个可以通过很重要同时也很基本的运算推导出来,后面会讲 这个的图像没什么意思,就不画了 有个有趣的周期性质可以了解下: f(x)=sinx f'(x)=cosx f''(x)=-sinx f'''(x)=-cosx f''''(x)=sinx 每求4次导数就构成一个循环。 2.6 反三角函数的导数 对反三角函数 f(x)=arcsinx ,它的导数为: f'(x)=1/\sqrt{1-x^{2}} 对反三角函数 f(x)=arccosx ,它的导数为:f'(x)=-1/\sqrt{1-x^{2}} 对反三角函数 f(x)=arctanx ,它的导数为: f'(x)=1/(1+x^{2}) 对反三角函数 f(x)=arccotx ,它的导数为:f'(x)=-1/(1+x^{2}) 对反三角函数,要特别留意他们的定义域和值域,对他们的导数也是如此 由于反三角函数的导数的题目并不多,训练的机会有限,因此更要牢记! 小结 以上是基本函数的导数,注意,是基本函数,没有夹带任何其他东西。 比如单项式就是 x^{2} 、 1/x 、 \sqrt[5]{x}这种,不是 2x^{2} 、 -7/x 、 \sqrt[5]{4x} 比如对数就是 lnx 、 log_{8}x 这种,不是 ln(x/4) 、 log_{8}(5x^{2}) 稍微复杂点的情况接下来马上就讲 最后,也是最重要的,由于导数是新接触的运算,没有学习运算的本质推导,因此一定要多做题,增加熟练度,至少要达到与指数对数运算相当的熟练程度。 此外,就算学会了基本函数的导数的推导,对记忆公式的帮助也不大。 三、导数的运算下面是导数的运算,建立在上面的基本函数的导数的基础上 有些可以很直观的理解,有些不可以 3.1 函数乘以(除以)常数的导数 只讨论乘以常数,除以看作乘以该常数的倒数即可。 若函数f(x)的导数为f'(x),则函数g(x)=a*f(x)的导数为:g'(x)=a*f'(x) 直观理解很简单,就是在原函数的导数前乘以该常数即可。 比如函数f(x)=x^{10} 的导数为 f'(x)=10x^{9} 那么函数 g(x)=2f(x)=2x^{10} 的导数为: g'(x)=2*f'(x)=2*10x^{9}=20x^{9} 再比如函数 f(x)=lnx 的导数为 f'(x)=1/x, 那么函数 g(x)=(-1/2)lnx 的导数为 g'(x)=(-1/2)*(1/x)=-1/(2x) 特别注意 常数a是与函数整体相乘,而不是直接与x相乘。 沿用上面的例子: 比如函数f(x)=x^{10} 的导数为 f'(x)=10x^{9} 那么函数 g(x)=(2x)^{10} 的导数就不能用这个方法来求 而是要先化成常数*原函数的形式: g(x)=2^{10}*x^{10} 因此 g'(x)=2^{10}*f'(x)=2^{10}*10x^{9} 还有其他更通用的求法,本节后面会讲到 再比如函数 f(x)=lnx 的导数为 f'(x)=1/x, 那么函数 g(x)=ln(2x) 的导数就不能用这个方法来求, 可以把它化为: g(x)=ln2+lnx ,分别求导后相加(3.2中马上会讲) 得到 g'(x)=0+1/x=1/x ,竟然和f(x)的导数相同!(没错,就是相同) 3.2函数相加(减)的导数 若函数f(x)、g(x)的导数分别为f'(x)、g'(x),则函数f(x)+g(x)的导数为f'(x)+g'(x) f(x)-g(x)的导数就是f'(x)-g'(x),减法看作加上-1*函数即可 这个很容易理解,两个函数相加减,他们变化的趋势也是直接相加减,就是很直接的线性关系 比如两个一次函数: f(x)=4x,它的导数为f'(x)=4 g(x)=6x,它的导数为g'(x)=6 那么h(x)=f(x)+g(x)=4x+6x=10x,直接对它求导,得到的导数就是h'(x)=10 这和直接4+6=10的结果是相同的 这样一来,对于多项式函数,就可以逐项求导,然后相加即可。 比如 f(x)=4x^{4}+2x^{2}+x-1/x^{2}-\sqrt[4]{x}+8 则 f'(x)=16x^{3}+4x+1-(-2)x^{-3}-(1/4)x^{-3/4}+0 再比如其他一些混合相加的函数 f(x)=2x^{3}+log_{4}x+5^{x}+cosx 则 f'(x)=6x^{2}+1/(xln4)+5^{x}ln5-sinx 特别注意 多个函数相加的求导也是一样的,分别求导,再加起来即可 这里的函数之间只能是简单的相加(减)关系,不能是相乘、复合的关系 比如 f(x)=ln(2x^{3}+4) 、f(x) f(x)=sinx*cosx 、 f(x)=tan(x^{2}) 就不符合此情况 后面会讲 3.3 函数相乘的导数 若函数f(x)、g(x)的导数分别为f'(x)、g'(x),那么函数h(x)=f(x)*g(x)的导数为: h'(x)=f'(x)*g(x)+g'(x)*f(x) 就是说如果两个函数相乘,所得函数的导数就是一个的导数乘以另一个的原函数,加上另一个的导数乘以这个的原函数 相乘的两个函数分别作为原函数出现一次、作为导数出现一次,二者的地位是等同的 举两个具体的例子: 函数 f(x)=3x^{3} , g(x)=2sinx, 根据前面的内容可以知道 f'(x)=9x^{2} , g'(x)=2cosx 则函 h(x)=6x^{3}*sinx 的导数为: h'(x)=f'(x)*g(x)+g'(x)*f(x) =9x^{2}*2sinx+2cosx*3x^{3} =18x^{2}sinx+6x^{3}cosx 举个有趣的例子验证下: 函数 f(x)=2x^{2} , g(x)=3x^{3} , h(x)=f(x)*g(x)=6x^{5} 直接用前面的方法可以直接求得: f'(x)=4x , g'(x)=9x^{2} , h'(x)=30x^{4} 现在再用本小节的方法“麻烦”地求一遍: h'(x)=f'(x)g(x)+g'(x)f(x) =4x*3x^{3}+9x^{2}*2x^{2} =12x^{4}+18x^{4} =30x^{4} 结果是相同的 多个函数相乘的求导,就需要一步一步算了,先把一个剥离出来,其余的看做整体;然后把其余的剥离出来一个,其余的其余看做一个整体......直到最后只剩两个,然后依次计算 比如四个: [f(x)g(x)h(x)k(x)]'=f'(x)[g(x)h(x)k(x)]+[g(x)h(x)k(x)]'f(x) =f'(x)[g(x)h(x)k(x)]+[g'(x)h(x)k(x)+(h(x)k(x))'g(x)]f(x) =f'(x)[g(x)h(x)k(x)]+g'(x)h(x)k(x)f(x)+[h'(x)k(x)+k'(x)h(x)]g(x)f(x) =f'(x)[g(x)h(x)k(x)]+g'(x)h(x)k(x)f(x)+h'(x)k(x)g(x)f(x)+k'(x)h(x)g(x)f(x) (这里中括号小括号比较多,一层套一层,又是f(x)g(x)h(x)k(x)的,容易搞混和看晕,建议亲自手写分解下) 很容易用数学归纳法证明,多个函数相乘的求导,就是对其中的每个函数求导,与其他的原函数相乘,然后加起来 特别注意 只能是两个函数相乘,不能涉及到复合,复合后面会讲 相除并不是简单的乘以相反数,虽然事实上可以这么做,可是很多复杂函数的相反数就更复杂了,相除的下小节就讲 3.4 函数相除的导数 若函数f(x)、g(x)的导数分别为f'(x)、g'(x),则函数h(x)=f(x)/g(x)的导数为: h'(x)=[f'(x)*g(x)-g'(x)*f(x)]/g^{2}(x) 就是说如果一个函数除以另一个函数,那么这个除式的导数就是:分子的导数乘以分母,减去分母的导数乘以分子,总的再除以分母的平方。 这个记起来要麻烦些,仍然是一个求导乘以另一个不求导,区别在于是相减,并且分母还要平方。 举两个具体的例子: f(x)=lnx , g(x)=x^{2}/2 , h(x)=2lnx/x^{2} 根据前面的内容很容易求得: f'(x)=1/x , g'(x)=x ,根据本小结内容: h'(x)=[f'(x)*g(x)-g'(x)*f(x)]/g^{2}(x) =[(1/x)*(x^{2}/2)-x*lnx]/(x^{4}/4) =(2-4lnx)/x^{3} 再举个有趣的例子验证下: f(x)=x^{4}+2x^{2}-x , g(x)=x^{2} , h(x)=f(x)/g(x)=(x^{4}+2x^{2}-x)/x^{2} 很容易求出: f'(x)=4x^{3}+4x-1 , g'(x)=2x 方法一:用本小结的方法 h'(x)=[(4x^{3}+4x-1)*x^{2}-2x*(x^{4}+2x^{2}-x)]/(x^{2})^{2} =(4x^{5}+4x^{3}-x^{2}-2x^{5}-4x^{3}+2x^{2})/x^{4} =(2x^{5}+x^{2})/x^{4} =2x+1/x^{2} 方法二:先把h(x)化为普通的多项式函数再求导 h(x)=x^{2}+2-1/x h'(x)=2x+0-(-1/x^{2})=2x+1/x^{2} 两种解法的结果是一样的 3.5 复合函数的导数 若函数f(x)、g(x)的导数分别为f'(x)、g'(x),则复合函数h(x)=f(g(x))的导数为: h'(x)=f'(g(x))*g'(x) 对复合函数的求导,先把里面的函数看做一个整体,对外面的函数进行求导,然后再只对里面的函数求导,然后乘起来 下面举2个例子: 例1: f(x)=(x^{2}+1)^{2} 先用复合函数的求导法则,令 g(x)=x^{2}, h(x)=x^{2}+1 ,则 f(x)=g(h(x)) f'(x)=g'(h(x))*h'(x) =[2*(x^{2}+1)]*(2x+0) =4x^{3}+4x 换个方法先把原函数展开: f(x)=x^{4}+2x^{2}+1 , 再求导得: f'(x)=4*x^{3}+2*(2x)+0=4x^{3}+4x 结果是一样的 例二: f(x)=ln(x^{3}+cosx) (x>1) 令 g(x)=lnx , h(x)=x^{3}+cosx ,则 f(x)=g(h(x)) 因此 f'(x)=g'(h(x))*h'(x)=[1/(x^{3}+cosx)]*(3x^{2}-sinx) 如果遇到多重复合函数的话,只要一层一层套下去就可以了,比如 f(x)=[ln(sin(x^{2}))]^{3} 先对最外的三次方求导,再对下一层的ln求导,再对下一层的sin求导,再对最后的二次方求导 f'(x)=3[ln(sin(x^{2}))]^{2}*(1/sin(x^{2}))*cos(x^{2})*(2x) 特别注意 复合函数对外层求导,一定是要把里面的函数看作一个整体进行运算,不要做任何变化 小结 由于是新学的内容,导数运算法则也同样需要大量的练习来掌握和熟练,等到熟练后可以不必再化成f(x)*g(x)、f(g(x))的形式,直接解决 的推导高中也不需要掌握,况且掌握后对熟悉以上运算也毫无帮助。 四、导数的应用导数的应用主要有两个:判断单调性和求极值点。 4.1 判断单调性 导数反应的是函数的变化率,既可以反应某个点上函数的变化趋势,也可以反应某个区间内函数的变化趋势。 首先要判断函数在该区间内是否都存在导数,比如分母不能为0,对数的真数必须为正,等等1 如果函数在某个区间内导数恒>0,则函数在这个区间内是单调递增的; 如果函数在某个区间内导数恒<0,则函数在这个区间内是单调递减的; 如果函数在某个区间内导数恒=0,则函数在这个区间内是不增不减的。 用最简单最熟悉的二次函数为例: 例1 f(x)=x^{2}-2x-3 先用传统的凑平方法来判断它的单调性: f(x)=(x-1)^{2}-4 不用多说,当x>1时,函数单调递增,当x<1时,函数单调递减 再用导数的方法,对函数求导得: f'(x)=2x-2 当x>1时,f'(x)>0,函数单调递增;当x<1时,f'(x)<0,函数单调递减 两者的结论是相同的 对于二次函数这种简单又熟悉的函数来说,导数并没有显得很好用,下面来看个稍微复杂些的 例2 f(x)=x^{2}-lnx (x>0) 这个看起来稍微复杂些了 对它求导即可: f'(x)=2x-1/x 现在来不等式: 2x-1/x>0 由于x>0,等式两边都乘以x得: 2x^{2}-1>0 解得: x>1/\sqrt{2} 或 x<-1/\sqrt{2} 根据函数的定义域去掉负的可得: x>1/\sqrt{2} 因此当x>1/\sqrt{2}时,函数单调递增; 同样的解不等式2x-1/x<0 可得 x<1/\sqrt{2} 因此当 0<x<1/\sqrt{2} 时,函数单调递减。 不解不等式解方程 如果解不等式有些困难的话,直接解方程也可以: 2x-1/x=0 得到唯一的正根 x=1/\sqrt{2} 可以据此判断,函数在定义域内只有这一个导数为0的点。 并且由于函数在定义域内处处导数都有意义,因此x=1/\sqrt{2}就是函数单调性的分界点 只需要随便取几个值代入导数计算即可 这里的取值有个小技巧:要么尽量取极端的数字,比如很大或很小的数字;要么取很好算的数字,比如0、1之类的 这个例子里由于定义域的关系不能取0 就分别取1/e (<1/\sqrt{2} ) 和1(>1/\sqrt{2} )吧 f'(1/e)=2/e-e,代入e≈2.71828,得:2/e<1,e>2,因此f'(1/e)<0,当 0<x<1/\sqrt{2} 时,函数单调递减 f'(1)=2-1=1>0(是不是很好算),因此当 x>1/\sqrt{2} 时,函数单调递增 上面的例子中由于出现了对数,因此判断上较为麻烦,大多数例子中往往可以用简单的或特殊的数字很容易进行判断,比如下面这个例子: 例3 求函数 f(x)=x^{3}+2x^{2}-4x 的单调区间 f'(x)=3x^{2}+4x-4 解方程 3x^{2}+4x-4=0 得: x_{1}=2/3 , x_{2}=-2 也就是说函数的单调区间分别为(-∞,-2)(-2,2/3)(2/3,﹢∞)三个 分别代入-100(两头的数字越极端越好)、0(0是个很好算的数字)、1(1也是个很好算的数字,也可以取极端的100)得: f'(-100)=3000000-400-4>0 f'(0)=-4<0 f'(1)=3+4-4=3>0 因此函数在(-∞,-2)递增,在(-2,2/3)递减,在(2/3,﹢∞)递增 4.2 判断函数的极值和最值 首先要明晰两个概念:函数的极值和最值 函数的最值就是我们通常认为的函数的最大值、最小值,也就是整个函数上面函数值最大或最小的点,有的函数有,有的没有 比如二次函数如果二次项系数为正,就有最小值没有最大值;如果二次项系数为负,就有最大值没有最小值 一次函数既没有最大值也没有最小值 标准正弦函数既有最大值(+1)又有最小值(-1) 函数的极值:极大值或极小值,是指在函数的这个点附近,没有比它更大或更小的值了 什么叫附近呢?这个说法很不规范 可以这么理解,在高中遇到的函数中, 在导数的不分段的定义域内,如果某个点处导数为0,那么它就是一个极值; 如果函数在某处有定义,但是导数在该处不存在,那么它有可能也是一个极值 如果这个点比它两侧的点都大,也就是左边递增右边递减,它就是极大值 如果这个点比它两侧的点都笑,也就是左边递减右边递增,它就是极小值 要注意的是,极大值极小值只是某个点的特殊性质,不意味着它就是函数的最大值或最小值,有时候是,有时候不是 并且,同一个函数的极大值不一定就比极小值小,因为极大值极小值只反应这个点本身和它附近的情况 如何具体判断是极大值还是极小值呢,除了上述根据两边的单调性判断外,还有个办法: 求二阶导数,也就是对导数再求导数,记作f''(x)(右上角有两撇) 在某处f'(x)=0,且f''(x)<0,那么该处就是函数的极大值; 在某处f'(x)=0,且f''(x)>0,那么该处就是函数的极小值; 对于该处导数不存在,那就不能用这个方法,只能试了。 就以前面的3个例子为例: 例1 f(x)=x^{2}-2x-3 f'(x)=2x-2 x=1(点(1,-4))是函数的一个极值点 f''(x)=2 f''(1)>0 (实际上f''(x)恒>0) 因此点(1,-4)是函数的一个极小值点 又因为该函数在该点左侧递减,在右侧递增,因此该点也是该函数的最小值点 例2 f(x)=x^{2}-lnx (x>0) f'(x)=2x-1/x x=1/\sqrt{2}是该函数的一个极值点 f''(x)=2+1/x^{2} f''(\sqrt{2})>0 (实际上f''(x)恒>0) 因此 x=1/\sqrt{2} 时是该函数的一个极小值点 和例一相同的原因,此处也是该函数的最小值点 下面画出它的图像 例3 f(x)=x^{3}+2x^{2}-4x f'(x)=3x^{2}+4x-4 求得两个极值点:x_{1}=2/3 , x_{2}=-2 f''(x)=6x+4 f''(2/3)=8 >0,是极小值 f''(-2)=-8 <0,是极大值 由于函数在(-∞,-2)递增,在(-2,2/3)递减,在(2/3,﹢∞)递增 当x非常非常负,比如-1000000000000时,函数值是非常非常小,肯定比f(2/3)要小,因此f(2/3)不是函数的最小值 同理,当x非常非常大,比如10000000000时,函数值非常非常大,肯定比f(-2)大,因此f(-2)不是函数的最大值 该函数的最大最小值不存在 它的图像为: 4.3 绘制函数的图像 绘制函数图像对判断和解决一些问题有比较直观的帮助,尽管具体的数值和判断需要通过严谨的数学推导来完成,但是通过图像得到的直观了解对构建思路和猜测答案很有帮助。 在最开始的几章里,已经讲了一些基本函数的图像,如果遇到相对复杂一些的函数,该怎么画出它们的图像呢?这里简单讲下几个实用的步骤: 第一步:确定关键点 主要有以下几个点:与x轴的交点、与y轴的交点、导数为0的点、函数无定义的点(比如分母为0) 第二步:确定单调性 根据导数为0的点和无定义的点,把函数分段,然后分别求这几段区间内导数的正负,从而确定函数的单调性 求函数的二阶导数(导数的导数),验证导数为0的点是极大值还是极小值 第三步:用平滑的曲线连接各特殊点 如果想更加精确的话,再求出二阶导数为0的点 二阶导数为正的区间,函数的曲线是开口向上的(类似于指数函数的图像,越增越快或越减越慢) 二阶导数为负的区间,函数的曲线是开口向下的(类似于对数函数的图像,越增越慢或越减越快) 最后导数是高中数学里最后最难的部分。 由于是全新的内容,全新的公式,全新的运算规律,因此需要大量的运算来熟悉,就像当初刚学指数和对数那样。 然而指数和对数是基于乘法和幂运算的,有基础可循。导数在高中数学中不讲推导,只是生硬简单粗浅地介绍概念,直接讲公式和运算规律,因此掌握起来更难。不过即便学会推导过程,对记忆公式也没有很大帮助,还是得靠多练。 导数虽然很新,感觉上很难,但其实具体题目的难点并不在导数的运算上,而是主要在于知道怎么运用导数来判断单调性和大小等函数的性质。 有兴趣和空闲详细学习了解推导过程的同学,推荐《普林斯顿微积分读本》(美国人Adrian Banner著),这本书是教材中比较容易理解的。 |
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