【数学笔记】洛必达法则 |
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洛必达法则是用来求一个函数极限的法则。 洛必达法则的引入求$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$$ 分子的极限是$\sin 0=0$,分母的极限是$0$,得出了$\frac{0}{0}$的结果,怎么办捏? 我们当然可以用夹逼定理等很多种方法求得答案,但是用洛必达法则比较简单。 $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=\lim_{x \to 0} \frac{(\sin x){}' }{x'}=\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1}=1$$ 你可能已经看明白了,就是分数上下同时求导后的极限,和原函数的极限是相同的。 洛必达法则真的这么神奇吗?什么函数都能这么求吗? 未定式 0/0型和$\infty/\infty$型刚刚的函数$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$$ 上下都是无穷小,所以我们称它为$\frac{0}{0}$型未定式,这种情况一般可以用洛必达法则来求。 还有一种情况是$\frac{ \infty}{ \infty}$型,也就是上下求完极限都是无穷大,这种情况也可以用洛必达法则来求。 如$$\lim_{x \to \infty} \frac{3x+5}{2x+1}$$ 我们使用洛必达法则,得到$$\lim_{x \to \infty} \frac{3x+5}{2x+1}=\lim_{x \to \infty} \frac{3}{2}=\frac{3}{2}$$ $\frac{0}{0}$型和$\frac{\infty}{\infty}$型是洛必达法则最基础的两个形式,其他形式的极限大多可以化为这两种形式。 其他形式的未定式刚刚说过,其他的未定式大多可以可以化为$\frac{0}{0}$型和$\frac{\infty}{\infty}$型,下面举几个例子。 如$$\lim_{x\to 0} x\ln x$$ 左边的极限是$0$,右边的极限是$-\infty$,所以这是一个$0\cdot \infty$型的未定式。 那么它怎么用洛必达法则呢? 我们可以把他变成$$\lim_{x \to 0}\frac{\ln x}{\frac{1}{x}}$$ 那么它就变成了一个$\frac{\infty}{\infty}$型未定式。 于是我们就可以使用洛必达法则$$\lim_{x \to 0}\frac{\ln x}{\frac{1}{x}}=\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}}=\lim_{x \to 0}-x=0$$ 这样就求得了它的极限。 类似的,像$0^0,\infty^{\infty},\infty-\infty$等类型的未定式大多可以化为$\frac{0}{0}$型或$\frac{\infty}{\infty}$型。 洛必达法则使用条件洛必达法则是要求极限,所以你首先得保证上下求导后得出的函数有极限。 另外,既然要求导求极限,那么这个函数的上下肯定得有导数。 上面说的这两条在一般的题目中都是符合的,所以不用特殊记。 另外只有能化为$\frac{0}{0}$型或$\frac{\infty}{\infty}$型的函数才能用洛必达法则,这一点经常错,如$$\lim_{x \to 0} \frac{e^x-\cos x}{x ^2}$$ 先用一次洛必达,得到 $$\lim_{x \to 0} \frac{e^x+\sin x}{2x}$$ 很多人做到这一步后可能会再用一次洛必达,得到$$\lim_{x \to 0} \frac{e^x+\cos x}{2}=1$$ 但是1不是这个函数的极限,哪里算错了呢? 原来,第二次洛必达得到的函数$\frac{e^x+\sin x}{2x}$已经不是$\frac{0}{0}$型或$\frac{\infty}{\infty}$型未定式了,所以不能用洛必达法则。 所以,我们在多次洛必达的过程中,一定要检查函数的未定式形式,如果无法化为$\frac{0}{0}$型或$\frac{\infty}{\infty}$型,就不能再算下去了! 习题观察到$\sin x \sim x$,所以原式可化为$$\lim_{x \to 0} \frac{x-\sin x}{x^3} $$ 这个函数是$\frac{0}{0}$型未定式,可以用洛必达法则。 $$\lim_{x \to 0} \frac{x-\sin x}{x^3} =\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{3x^2} $$ 我们发现,这个式子还是$\frac{0}{0}$型未定式,所以继续洛。 得到$$ \lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{3x^2} =\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{6x} =1$$ 求$$\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x}$$观察到函数为$\frac{\infty}{\infty}$型未定式,可以用洛必达法则。 得$$\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} =\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x}}{1}=\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}=0$$ |
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