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实数完备性基本定理等价性的证明

摘要

本文通过循环证明对实数完备性基本定理的等价性作出了证明

. 

关键词

实数完备性基本定理

等价性

循环证明

§

1 

引

在这一节，主要对本文所用到的定义，定理及推论作以介绍

. 

定义

设闭区间列









n

n

b

a

,

具有如下性质：

（

i

）









1

1

,

,







n

n

n

n

b

a

b

a

, 



,

2

,

1



n

; 

（

ii

）





n

n

n

a

b







lim

=0, 

则称









n

n

b

a

,

为闭区间套，或简称区间套

. 

确界原理

设

S

为非空数集

.

若

S

有上界，则

S

必有上确界；若

S

有下界，

则

S

必有下确界

. 

单调有界定理

在实数系中，有界的单调数列必有极限

. 

区间套定理

若









n

n

b

a

,

是一个闭区间套，

则在实数中存在唯一的一点



，

使得





,

,

2

,

1

,

,







n

b

a

n

n



即

.

,

2

,

1

,









n

b

a

n



推论

若





,

,

2

,

1

,

,







n

b

a

n

n



是区间套









n

n

b

a

,

所确定的点，则对任给的



> 0

，存在

N> 0

，使得当

n>N 

时有













;

,





n

n

b

a

. 

有限覆盖定理

设

H

为闭区间





b

a

,

的一个（无限）开覆盖，则从

H

中可选

出有限个开区间来覆盖





b

a

,

. 

聚点定理

实数轴上任一有限无界点集

S

至少有一个聚点

. 

柯西收敛准则

数列





n

a

收敛的充要条件是：对任给的



>0 

，存在正整数

N

，使得当

n,m>N 

时有