高数（一） |
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高数（一）
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基本概念： 极限 连续性 导数 微分 不定积分 定积分 基本概念的几何意义， 以及应用 基本概念间充分性，必要性的推导 无穷小 无穷大 高阶无穷小 等价无穷小 复合函数 一 极限在某一点的极限定义 自变量趋于无穷的极限定义 极限定义注意事项： “可以任意小” 是关键取不取到等号是等价的，因为是找一个范围，是找存在性x -> 0 与 x -> 0+ 是不同的函数的极限总共有六种情形 极限的性质 唯一性局部有界性局部保号性 二 连续性 定义 连续即x -> x0 时，y -> y0，即△x -> 0 时， △y -> 0
三 导数
导数的主要思想是：用某一点附近的局部代表这一点，然后让局部无限变小 定义 几何意义 函数在某一点的导数，表示在这一点切线的斜率 应用 定义 几何意义 微分的几何意义表示，在某一点附近可以用这一点的切线近似代替曲线 无穷小的定义 无穷小与极限的关系 高阶无穷小与等价无穷小 无穷大的定义 无穷小与无穷大的关系 存在极限不一定连续，连续一定存在极限 可导一定连续，连续不一定可导 可导与可微是等价的 连续，可导， 可微之间关系的证明关键都是，引用 无穷小与极限的关系 定理 要点：△x -> 0时，△y -> 0，即x -> x0时，y -> y0，即证明了连续性 七 原函数与不定积分原函数的定义 原函数存在定理 不定积分的定义 定积分的主要思想是：用局部的某一点代表局部，然后让局部无限变小 定积分的定义 
定积分定义要点 分区间是任意划分，而不是等分小区间上取一点是任意取，两个小区间取的点是可以不同的取极限的变化过程是，其中最大的小区间趋于零（划分区间的个数无限增加，不能取得相同的效果，因为小区间不是等分的）定积分的几何意义 定积分表示曲边梯形的面积 定积分的应用 求变速直线运动的路程 某一小段时间内的速度可用这段时间内某点的速度代替，然后就可求出这小段时间内的近似路程，然后就是取极限的过程 |
路程s 是关于时间t 的函数， (f(t1) - f(t0)) / (t1 - t0) 表示平均速度。在t0 点的导数才表示在t0 处的瞬时速度
证明的关键： f(x) = f(x) - A + A，A为某一过程中f(x) 的极限，显然f(x) - A 为这一过程中的无穷小
等价无穷小与高阶无穷小之间的关系 
说明：仅仅说明等式成立在这里没有任何意义，还要说明在某一过程中，β，α是无穷小，后面的是 α 的高阶无穷小，这样才能说明在这一过程中β与α是等价无穷小
可以证明，f(x)的任意两个原函数只相差一个常数
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