从上帝视角望穿外微分、高斯公式与斯托克斯公式在高维空间的统一推广、散度和旋度的推导与球坐标和柱坐标下散度与旋度公式的深入骨髓的直观解释

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从上帝视角望穿外微分、高斯公式与斯托克斯公式在高维空间的统一推广、散度和旋度的推导与球坐标和柱坐标下散度与旋度公式的深入骨髓的直观解释

2023-05-11 07:51| 来源: 网络整理| 查看: 265

本篇文章从上帝视角望穿高维空间中高斯公式（向量场散度的体积分等于该场在体积边界的面积分）、斯托克斯公式（向量场旋度的面积分等于该场在面积边界的线积分）在高维空间中的统一形式。4000字让你成为高手，建议收藏。

并在三维空间中推导球坐标与柱坐标的散度与旋度公式，并解释散度和旋度几何意义，让读者不推导也能直接写出球坐标与柱坐标下的散度与旋度公式。

向量的外积理论在任意度规矩阵、任意维空间的任意多个向量上的推广基矢为常量的外微分基矢为变量的微分形式的协变微分外微分的坐标变换微分体元变换的举例 高维空间上的高斯公式与斯托克斯公式的统一推广形式及几何意义 三维空间中的高斯公式三维空间中的斯托克斯公式 球坐标系下散度公式的几何推导球坐标系下散度公式的直接直接微分推导球坐标下散度公式为什么不能直接像直角坐标系那样直接对微量场的各个分量微分进行推导 球坐标系下旋度公式的几何推导 球坐标下旋度公式的直接微分推导球坐标下旋度公式为什么不能直接像直角坐标系那样直接对微量场的各个分量微分进行推导柱坐标系下的散度公式柱坐标系下高斯公式柱坐标系下的旋度公式 柱坐标系下斯托克斯公式1. 向量的外积理论在任意度规矩阵、任意维空间的任意多个向量上的推广

为了彻底讲清楚这些公式，我们需要先了解外微分，在了解外微分之前我们有必要了解向量叉乘即向量外积。关于向量外积本人提出了两个定理，将外积推广到任意维空间、任意度规矩阵的任意多个向量上去，在前人基础之上前进了一大步。参见论文

数学达人上官正申：向量外积（叉积、叉乘）在任意度量（度规）矩阵、任意维数空间上任意多个向量上的推广（前人基础之上的巨大突破）

读完这篇论文，绝对可以对外积有出神入化，盖世绝伦的理解。

2. 基矢为常量的外微分

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https://zhuanlan.zhihu.com/p/10868695524 赞同 · 8 评论文章

以及我们前面对外积的讨论我们已经知道外积表示的是面积或体积，所以积分 $\int f(x, y)\mathbb{d}x\mathbb{d}y, \int g(x, y, z)\mathbb{d}x\mathbb{d}y\mathbb{d}z$ 中的 $\mathbb{d}x\mathbb{d}y, \mathbb{d}x\mathbb{d}y\mathbb{d}z$ 其实对应的就是向量的外积，只不过是微小向量（下文简称“微向量”）的外积。即 $\mathbb{d}x\mathbb{d}y$ 是

$\mathbb{d}x\wedge\mathbb{d}y=\mathbb{d}(x\bm{e}^{x})\times\mathbb{d}(y\bm{e}^{y})$

的简便写法，同理 $\mathbb{d}x\mathbb{d}y\mathbb{d}z$ 是

$\mathbb{d}x\wedge\mathbb{d}y\wedge\mathbb{d}z=\mathbb{d}(x\bm{e}^{x})\times\mathbb{d}(y\bm{e}^{y})\times\mathbb{d}(z\bm{e}^{z})$

的简便写法，其中 $\wedge$ 表示微向量的外积。由于两个向量交换一次顺序时外积要变号，因此我们要事先约当好正负号，即 $\mathbb{d}x\mathbb{d}y$ 究竟表示 $\mathbb{d}x\wedge\mathbb{d}y$ 还是表示 $\mathbb{d}y\wedge\mathbb{d}x$ , 在这里我们显然是选择了前者，隐含约定了 $\bm{e}^{x}\times \bm{e}^{y}$ 为 , $\bm{e}^{y}\times\bm{e}^{x}$ 为 .

我们平时的简便写法省略了基矢，所以很多人学到外微分时会很困惑，而且数学书上也从来不详细讲解这些虽然并不难但是却很重的东西，所以很多人学习了很多年科学知识都不能真正理解外微分。

3. 基矢为变量时的协变微分

补充说明（这段文字没有学过微分几何或广义相对论的人不用看）正是因为微分时要有基矢，而在弯曲空间中，基矢并非固定不变的常量。所以微分几何中才会有联络即克氏符的概念，因为我们对一个向量进行微分，不仅仅是向量的大小在变化，基矢的方向也在变化，所以单纯地求微分是不够的，所以在微分几何中，向量 $\bm{\upsilon}$

$\frac{\mathbb{D}(\upsilon_{i}\bm{e}^{i})}{\mathbb{D}x_{j}}=\frac{\partial \upsilon_{i}}{\partial x_{j}}\bm{e}^{i}+\Gamma^{z}_{ij}\upsilon_{i}\bm{e}^{z}$

其中 $\Gamma_{ij}^{z}$ 的几何意义就是 方向上的基矢对 方向求导的变化在 方向的分量（注意，在非直角坐标系中，分量与投影不是一回事）

4. 外微分的坐标变换

假定

$\mathbb{d}x_{1}\mathbb{d}x_{2}\cdots\mathbb{d}x_{n}=\mathbb{d}x_{1}\bm{e^{1}}\times\mathbb{d}x_{2}\bm{e}^{2}\times\cdots\times\mathbb{d}x_{n}\bm{e}^{n}$

当我们在空间中选择新的基矢向量组 $\bm{e}'^{1}, \bm{e}'^{2}, \cdots, \bm{e}'^{n}$ 时，假定过渡矩阵为 , 即

$\left( \begin{array}{c} \bm{e}^{'1} & \bm{e}^{'2} & \cdots & \bm{e}^{'n} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \bm{e}^{1} & \bm{e}^{2} & \cdots & \bm{e}^{n} \end{array} \right) A$

则

$\left( \begin{array}{c} \bm{e}^{'1} & \bm{e}^{'2} & \cdots & \bm{e}^{'n} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \mathbb{d}x'_{1} \\ \mathbb{d}x'_{2} \\ \vdots \\ \mathbb{d}x'_{n} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \bm{e}^{1} & \bm{e}^{2} & \cdots & \bm{e}^{n} \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \mathbb{d}x_{1} \\ \mathbb{d}x_{2} \\ \vdots \\ \mathbb{d}x_{n} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} \bm{e}^{1} & \bm{e}^{2} & \cdots & \bm{e}^{n} \end{array} \right) A \left( \begin{array}{c} \mathbb{d}x'_{1} \\ \mathbb{d}x'_{2} \\ \vdots \\ \mathbb{d}x'_{n} \end{array} \right)$

可知新旧基矢下相同向量的坐标变换关系为

$\left( \begin{array}{c} \mathbb{d}x_{1} \\ \mathbb{d}x_{2} \\ \vdots \\ \mathbb{d}x_{n} \end{array} \right) = A \left( \begin{array}{c} \mathbb{d}x'_{1} \\ \mathbb{d}x'_{2} \\ \vdots \\ \mathbb{d}x'_{n} \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \mathbb{d}x'_{1} \\ \mathbb{d}x'_{2} \\ \vdots \\ \mathbb{d}x'_{n} \end{array} \right)$

因此

$\mathbb{d}x_{1}\bm{e^{1}}\times\mathbb{d}x_{2}\bm{e}^{2}\times\cdots\times\mathbb{d}x_{n}\bm{e}^{n}\\ =(a_{11}\mathbb{d}x'_{1}\bm{e^{'1}}+a_{12}\mathbb{d}x'_{2}\bm{e^{'2}}+\cdots+a_{1n}\mathbb{d}x'_{n}\bm{e^{'n}})\times(a_{21}\mathbb{d}x'_{1}\bm{e^{'1}}+a_{22}\mathbb{d}x'_{2}\bm{e^{'2}}\\+\cdots+a_{2n}\mathbb{d}x'_{n}\bm{e^{'n}})\bm{e}^{2}\times\cdots\times(a_{n1}\mathbb{d}x'_{1}\bm{e^{'1}}+a_{n2}\mathbb{d}x'_{2}\bm{e^{'2}}+\cdots+a_{nn}\mathbb{d}x'_{n}\bm{e^{'n}})\\ =|A|\mathbb{d}x_{1}\bm{e^{1}}\times\mathbb{d}x_{2}\bm{e}^{2}\times\cdots\times\mathbb{d}x_{n}\bm{e}^{n}$

其中就是数学分析或高等数学中经常提到的雅可比矩阵，它的行列式表示微分体元之间的倍数关系，这里的 不一定是常数，可以是坐标的函数。写成简便记法，即

$\mathbb{d}x_{1}\mathbb{d}x_{2}\cdots\mathbb{d}x_{n}=|A|\mathbb{d}x'_{1}\mathbb{d}x'_{2}\cdots\mathbb{d}x'_{n}$

5. 微分体元变换的举例

1. 从直角坐标系到球坐标系之几何方法

如图所示，球坐标系下微小体元的长（方向）为 $\mathbb{d}r$ , 宽（ $\varphi$ 方向）为 $r\mathbb{d}\varphi$ , 高（ $\theta$ 方向）为 $r\sin\varphi\mathbb{d}\theta$ , 因此体积元素为

$\mathbb{d}x\mathbb{d}y\mathbb{d}z=\mathbb{d}r\cdot r\mathbb{d}\varphi\cdot r\sin\varphi\mathbb{d}\theta=r^{2}\sin\varphi\mathbb{d}r\mathbb{d}\varphi\mathbb{d}\theta$

球坐标下的微分体积元素

从直角坐标系到球坐标系之代数方法 直角坐标系与球坐标系下的变换关系为

$\left\{ \begin{array}{c} x=r\sin\varphi\cos\theta \\ y=r\sin\varphi\sin\theta \\ z=r\cos\theta \end{array} \right. \Longrightarrow \left\{ \begin{array}{c} \mathbb{d}x=\sin\varphi\cos\theta\mathbb{d}r+r\cos\varphi\cos\theta\mathbb{d}\varphi-r\sin\varphi\sin\theta\mathbb{d}\theta \\ \mathbb{d}y=\sin\varphi\sin\theta\mathbb{d}r+r\cos\varphi\sin\theta\mathbb{d}\varphi+r\sin\varphi\cos\theta\mathbb{d}\theta \\ \mathbb{d}z=\cos\theta\mathbb{d}r-r\sin\theta\mathbb{d}\theta \end{array} \right.$

则

$\mathbb{d}x\mathbb{d}y\mathbb{d}z =\left| \begin{array}{c} \sin\varphi\cos\theta & r\cos\varphi\cos\theta & -r\sin\varphi\sin\theta \\ \sin\varphi\sin\theta & r\cos\varphi\sin\theta & r\sin\varphi\cos\theta \\ \cos\varphi & -r\sin\varphi & 0 \\ \end{array} \right|\mathbb{d}r\mathbb{d}\varphi\mathbb{d}\theta=r^{2}\sin\varphi\mathbb{d}r\mathbb{d}\varphi\mathbb{d}\theta$

用雅可比行列式的方法与几何法结果一致，用雅可比行列式之所以没有出现负号是因为 x-y-z 与 $r-\varphi-\theta$ 同为右手坐标系。

2. 从直角坐标系到柱坐标系之几何方法

如图所示，柱坐标系下微小体元的长（方向）为 $\mathbb{d}r$ , 宽（ $\theta$ 方向）为 $r\mathbb{d}\theta$ , 高（方向）为 $\mathbb{d}z$ , 因此体积元素为

$\mathbb{d}x\mathbb{d}y\mathbb{d}z=\mathbb{d}r\cdot r\mathbb{d}\theta\cdot\mathbb{d}z=r\mathbb{d}r\mathbb{d}\theta\mathbb{d}z$

柱坐标下的微分体积元素

从直角坐标系到柱坐标系之代数方法 直角坐标系与柱坐标系下的变换关系为

$\left\{ \begin{array}{c} x=r\cos\theta \\ y=r\sin\theta \\ z=z \end{array} \right. \Longrightarrow \left\{ \begin{array}{c} \mathbb{d}x=\cos\theta\mathbb{d}r-r\sin\theta\mathbb{d}\theta \\ \mathbb{d}y=\sin\theta\mathbb{d}r+r\cos\theta\mathbb{d}\theta \\ \mathbb{d}z=\mathbb{d}z \end{array} \right.$

则

$\mathbb{d}x\mathbb{d}y\mathbb{d}z =\left| \begin{array}{c} \cos\theta & -r\sin\theta & 0\\ \sin\theta & r\cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right|\mathbb{d}r\mathbb{d}\varphi\mathbb{d}\theta=r\mathbb{d}r\mathbb{d}\theta\mathbb{d}z$

用雅可比行列式的方法与几何法结果一致，用雅可比行列式之所以没有出现负号是因为 x-y-z 与 $r-\theta-z$ 同为右手坐标系。

6. 高维空间上的高斯公式与斯托克斯公式的统一推广形式及几何意义

对于高维空间上的函数 $f(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n})$ , 则显然

$\underbrace{\int\int\cdots\int}_{m个}f(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n})\underbrace{\mathbb{d}x_{i_{1}}\wedge\mathbb{d}x_{i_{2}}\wedge\cdots\wedge\mathbb{d}x_{i_{m}}}_{m个}\\ =\underbrace{\int\int\cdots\int}_{m个}\int\frac{\partial f(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n})}{\partial x_{i_{m+1}}}\mathbb{d}x_{i_{m+1}}\wedge\underbrace{\mathbb{d}x_{i_{1}}\wedge\mathbb{d}x_{i_{2}}\wedge\cdots\wedge\mathbb{d}x_{i_{m}}}_{m个}$

假定在维空间的维封闭曲面，是这维封闭曲面包围而成的 m+1 维几何体（当然 nm+1 时，并不是唯一的），则

$\sum\limits_{1\leq i_{1}i_{2}\cdotsi_{m}\leq n}{\underbrace{\int\int\cdots\int_{S}}_{m个}}f(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n})\underbrace{\mathbb{d}x_{i_{1}}\wedge\mathbb{d}x_{i_{2}}\wedge\cdots\wedge\mathbb{d}x_{i_{m}}}_{m个}\\ =\sum\limits_{i_{m+1}}\sum\limits_{1\leq i_{1}i_{2}\cdotsi_{m}\leq n}\underbrace{\int\int\cdots\int}_{m个}\int_{V}\frac{\partial f(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n})}{\partial x_{i_{m+1}}}\mathbb{d}x_{i_{m+1}}\wedge\underbrace{\mathbb{d}x_{i_{1}}\wedge\mathbb{d}x_{i_{2}}\wedge\cdots\wedge\mathbb{d}x_{i_{m}}}_{m个}$

这便是 维空间中的高斯公式和斯托克斯公式的统一推广形式。

几何意义

就是向量场在 维封闭曲面上的面积分等于其微分向量场在该封闭包围的 维几何体的体积分。如果是弯曲空间，我们只需要将偏导改成协变导数，因为弯曲空间中基矢的大小和方向也在变化，仅仅对向量的坐标求偏微分并非真正意义上的微分。很多内容我们会再后续文章继续深入讨论，并给出出神入般的解释。

7. 三维空间中的高斯公式

假定三维空间的封闭曲面，是由围成的三维几何体，对三维空间向量场 $(F_{x}(x, y, z), F_{y}(x, y, z), F_{z}(x, y, z))$

$\iint_{S}F_{x}\mathbb{d}y\mathbb{d}z+F_{y}\mathbb{d}x\mathbb{d}z+F_{z}\mathbb{d}x\mathbb{d}y\\ =\iint_{S}F_{x}\mathbb{d}y\wedge\mathbb{d}z+F_{y}\mathbb{d}z\wedge\mathbb{d}x+F_{z}\mathbb{d}x\wedge\mathbb{d}y\\ =\iiint_{V}\frac{\partial F_{x}}{\partial x}\mathbb{d}x\wedge\mathbb{d}y\wedge\mathbb{d}z+\frac{\partial F_{y}}{\partial y}\mathbb{d}y\wedge\mathbb{d}z\wedge\mathbb{d}x+\frac{\partial F_{z}}{\partial z}\mathbb{d}z\wedge\mathbb{d}x\wedge\mathbb{d}y\\ =\iiint_{V}(\frac{\partial F_{x}}{\partial x}+\frac{\partial F_{y}}{\partial y}+\frac{\partial F_{z}}{\partial z})\mathbb{d}x\wedge\mathbb{d}y\wedge\mathbb{d}z\\ =\iiint_{V}(\frac{\partial F_{x}}{\partial x}+\frac{\partial F_{y}}{\partial y}+\frac{\partial F_{z}}{\partial z})\mathbb{d}x\mathbb{d}y\mathbb{d}z$

其中之所以有

$\mathbb{d}x\mathbb{d}z=\mathbb{d}z\wedge\mathbb{d}x$

是因为 z-x-y 是右手坐标系。当然我们也可以约定

$\mathbb{d}x\mathbb{d}z=-\mathbb{d}z\wedge\mathbb{d}x$

如果这样约定的话高斯公式也要发生变化，即最终的结果第二项要变为负号。 方向上的分量我们只对 求导是因为外积的反对称性，所以对其他变量求偏导没有意义，下面求旋度过程也是同理。

散度的在直角坐标第中的定义及几何意义 根据高斯公式，我们可定义散度为

$div(\bm{F})=\frac{\partial F_{x}}{\partial x}+\frac{\partial F_{y}}{\partial y}+\frac{\partial F_{z}}{\partial z}$

即三维空间中散度的体积分等于原向量场的面积分，亦即流出封闭曲面的流量等于散度的体积分。由此我们立即可以知道无源场无汇场散度为零。

8. 三维空间中的斯托克斯公式

假定三维空间的封闭曲线，是由围成的二维曲面，对三维空间向量场 $(F_{x}(x, y, z), F_{y}(x, y, z), F_{z}(x, y, z))$ ,

$\int_{S}F_{x}\mathbb{d}x+F_{y}\mathbb{d}y+F_{z}\mathbb{d}z\\ =\iint_{V}\frac{\partial F_{x}}{\partial y}\mathbb{d}y\wedge\mathbb{d}x+\frac{\partial F_{x}}{\partial z}\mathbb{d}z\wedge\mathbb{d}x+\frac{\partial F_{y}}{\partial x}\mathbb{d}x\wedge\mathbb{d}y+\frac{\partial F_{y}}{\partial z}\mathbb{d}z\wedge\mathbb{d}y+\frac{\partial F_{z}}{\partial x}\mathbb{d}x\wedge\mathbb{d}z+\frac{\partial F_{z}}{\partial y}\mathbb{d}y\wedge\mathbb{d}z\\ =\iint_{V}(\frac{\partial F_{z}}{\partial y}-\frac{\partial F_{y}}{\partial z})\mathbb{d}y\wedge\mathbb{d}z+(\frac{\partial F_{x}}{\partial z}-\frac{\partial F_{z}}{\partial x})\mathbb{d}z\wedge\mathbb{d}x+(\frac{\partial F_{y}}{\partial x}-\frac{\partial F_{x}}{\partial y})\mathbb{d}x\wedge\mathbb{d}y$

旋度在直角坐标系中的定义及几何意义 根据斯托克斯公式，我们可定义散度为

$rot(\bm{F})=(\frac{\partial F_{z}}{\partial y}-\frac{\partial F_{y}}{\partial z}, \frac{\partial F_{x}}{\partial z}-\frac{\partial F_{z}}{\partial x}, \frac{\partial F_{y}}{\partial x}-\frac{\partial F_{x}}{\partial y})$

即三维空间中旋度的面积分等于原向量场的线积分，亦即环路积分等于旋度的面积分。由此我们立即可以知道无旋场旋度为零。

9. 球坐标系下散度公式的几何推导

从几何上看，直角坐标系中体元是均匀的，所以可以直接求微分。但是在球坐标系中体元不是均匀的，与方向垂直的表面积与 $r^{2}$ 成正比。而散度的体积分计算的是原向量场在表面积上的通量，因此对于分量我们不能直接对进行微分，而是在微分之前要乘以 $r^{2}$ , 微分之后再还原回来，即 $\frac{\partial (r^{2}F_{r})}{r^{2}\partial r}$ . 同理与 $\varphi$ 方向垂直的表面积与 $\sin\varphi$ 成正比，因此 $\varphi$ 方向上的分量也不能直接对 $\varphi$ 进行微分，而是在微分前先乘以 $\sin\varphi$ , 微分之后再还原回来，即 $\frac{\partial (\sin\varphi F_{\varphi})}{r\sin\varphi\partial\varphi}$ . 与 $\theta$ 方向垂直的表面积无变化，因此可直接微分，即 $\frac{\partial F_{\theta}}{r\sin\varphi\partial \theta}$ , 上述两项分母，分别乘以 $r, r\sin\varphi$ 是为了将微分参数变为线元参数, 因为 $r\partial\varphi, r\sin\varphi\partial\theta$ 才是线元。因此在球坐标下的散度为

$div(\bm{F})=\frac{\partial (r^{2}F_{r})}{r^{2}\partial r}+\frac{\partial (\sin\varphi F_{\varphi})}{r\sin\varphi\partial\varphi}+\frac{\partial F_{\theta}}{r\sin\varphi\partial \theta}$

10. 球坐标系下散度公式的直接直接微分推导

球坐标下， $\varphi-\theta, \theta-r, r-\varphi$ 三个方向上的面无分别为

$r\mathbb{d}\varphi\wedge r\sin\varphi\mathbb{d}\theta=r^{2}\sin\varphi\mathbb{d}\varphi\wedge \mathbb{d}\theta\\ r\sin\varphi\mathbb{d}\theta\wedge\mathbb{d}r\\ \mathbb{d}r\wedge r\mathbb{d}\varphi=r\mathbb{d}r\wedge\mathbb{d}\varphi$

因此球坐标下高斯公式为

$\iint_{S}F_{r}r^{2}\sin\varphi\mathbb{d}\varphi\wedge\mathbb{d}\theta+F_{\varphi}r\sin\varphi\mathbb{d}\theta\wedge\mathbb{d}r+F_{\theta}r\mathbb{d}r\wedge\mathbb{d}\varphi\\ = \iiint_{V}\frac{\partial({F_{r}r^{2}})}{\partial r}\sin\varphi\mathbb{d}r\wedge\mathbb{d}\varphi\wedge\mathbb{d}\theta+\frac{\partial (F_{\varphi}\sin\varphi)}{\partial \varphi}r\mathbb{d}\varphi\wedge\mathbb{d}\theta\wedge\mathbb{d}r+\frac{\partial F_{\theta}}{\partial\theta}r\mathbb{d}\theta\wedge\mathbb{d}r\wedge\mathbb{d}\varphi\\ = \iiint_{V}\frac{\partial({F_{r}r^{2}})}{r^{2}\partial r}r^{2}\sin\varphi\mathbb{d}r\wedge\mathbb{d}\varphi\wedge\mathbb{d}\theta+\frac{\partial (F_{\varphi}\sin\varphi)}{r\sin\varphi\partial \varphi}r^{2}\sin\varphi\mathbb{d}\varphi\wedge\mathbb{d}\theta\wedge\mathbb{d}r+\frac{\partial F_{\theta}}{r\sin\varphi\partial\theta}r^{2}\sin\varphi\mathbb{d}\theta\wedge\mathbb{d}r\wedge\mathbb{d}\varphi\\ = \iiint_{V}(\frac{\partial({F_{r}r^{2}})}{r^{2}\partial r}+\frac{\partial (F_{\varphi}\sin\varphi)}{r\sin\varphi\partial \varphi}+\frac{\partial F_{\theta}}{r\sin\varphi\partial\theta})r^{2}\sin\varphi\mathbb{d}r\mathbb{d}\varphi\mathbb{d}\theta$

与上述结果是一致的。

11. 球坐标下散度公式为什么不能直接像直角坐标系那样直接对微量场的各个分量微分进行推导

第一中解释：因为散度的体积分计算的是原向量场在边界上的流量，而弯曲空间中边界的面元并非恒定的，流量不仅和场强成正比，也和边界的面积成正比，因此不能仅对场强进行微分，而是要对场强和面积的乘积作为一个整体进行微分。

第二种解释：如果我们直接对场强进行微分，需要用弯曲空间中的微分，即微分几何中的协变导数。在弯曲空间或弯曲坐标系里，基矢的方向是变化的。例如 方向上的基矢随着 $\varphi$ 的变化在 $\varphi$ 方向上并不为零，不难想象是 $\frac{1}{r}$ , 也就是微分几何中的 $\Gamma^{\varphi}_{r\varphi}$ , 读者可以自己从空间上去想象为什么是 $\frac{1}{r}$ , 因此它也对散度做了贡献。严格来说这已经延伸到微分几何范畴，作者以后有时间会继续写这些文章，并详细解释各个符号的几何意义。

12. 球坐标系下旋度公式的几何推导

从几何上看，直角坐标系中体元是均匀的，所以可以直接求微分。但是在球坐标系中面元不是均匀的。而旋度的面积分计算的是原向量场在边界上的环路积分。由于线元不均匀我们同样不能直接像直角坐标第那样直接求微分。对于 $\varphi-\theta$ 曲面， $\varphi$ 方向上的线元是均匀的，而 $\theta$ 方向上的线元和 $\sin\varphi$ 成正比因此我们要在微分之前乘以它微分之后再除回来，因此该曲面方向上的旋度为 $\frac{\partial (F_{\theta}\sin\varphi)}{r\sin\varphi\partial\varphi}-\frac{\partial F_{\varphi}}{r\sin\varphi\partial\theta}$ ，第一项多除以一个是因为要把微分变量线元化，第二项多除以一个 $r\sin\varphi$ 也是同理，因为 $r\sin\varphi\partial\theta$ 才是线元。对于 $\theta-r$ 曲面， $\theta$ 方向上的线元和成正比，方向上线元均匀，因此同理可得该曲面方向上的旋度为 $\frac{\partial F_{r}}{r\sin\varphi\partial\theta}-\frac{\partial (F_{\theta}r)}{r\partial r}$ , 第一项多除以一个 $r\sin\varphi$ 是因为 $r\sin\varphi\partial\theta$ 才是线元。对于 $r-\varphi$ 曲面，方向上线元均匀， $\varphi$ 方向上线元和成正比，因此该曲面上的旋度为 $\frac{\partial (F_{\varphi}r)}{r\partial r}-\frac{\partial F_{r}}{r\partial \varphi}$ , 第二项多除以了一个 , 是因为 $r\partial\varphi$ 才是线元。上述三个表达式的第二项均有负号是因为我们定义了 $r-\varphi-\theta$ 为右手坐标系。综上所述，旋度

$rot(\bm{F})=(\frac{\partial (F_{\theta}\sin\varphi)}{r\sin\varphi\partial\varphi}-\frac{\partial F_{\varphi}}{r\sin\varphi\partial\theta}, \frac{\partial F_{r}}{r\sin\varphi\partial\theta}-\frac{\partial (F_{\theta}r)}{r\partial r}, \frac{\partial(F_{\varphi}r)}{r\partial r}-\frac{\partial F_{r}}{r\partial \varphi})$

13. 球坐标下旋度公式的直接微分推导

在球坐标系下 $r, \varphi, \theta$ 方向上的线元分别为 $\mathbb{d}r, r\mathbb{d}\varphi, r\sin\varphi\mathbb{d}\theta$ , 面元如前文所述，则球坐标下斯托克斯公式为

$\int_{S}F_{r}\mathbb{d}r+F_{\varphi}r\mathbb{d}\varphi+F_{\theta}r\sin\varphi\mathbb{d}\theta\\ =\iint_{V}\frac{\partial F_{r}}{\partial\varphi}\mathbb{d}\varphi\wedge\mathbb{d}r+\frac{\partial F_{r}}{\partial\theta}\mathbb{d}\theta\wedge\mathbb{d}r+\frac{\partial F_{\varphi}}{\partial\theta}r\mathbb{d}\theta\wedge\mathbb{d}\varphi+\frac{\partial (F_{\varphi}r)}{\partial r}\mathbb{d}r\wedge\mathbb{d}\varphi+\frac{\partial (F_{\theta}r)}{\partial r}\sin\varphi\mathbb{d}r\wedge\mathbb{d}\theta+\frac{\partial (F_{\theta}\sin\varphi)}{\partial\varphi}r\mathbb{d}\varphi\wedge\mathbb{d}\theta\\ =\iint_{V}(\frac{\partial (F_{\theta}\sin\varphi)}{r\sin\varphi\partial\varphi}-\frac{\partial F_{\varphi}}{r\sin\varphi\partial\theta})r^{2}\sin\varphi\mathbb{d}\varphi\mathbb{d}\theta+(\frac{\partial F_{r}}{r\sin\varphi\partial\theta}-\frac{\partial (F_{\theta}r)}{r\partial r})r\sin\varphi\mathbb{d}\theta\mathbb{d}r+(\frac{\partial (F_{\varphi}r)}{r\partial r}-\frac{\partial F_{r}}{r\partial \varphi})r\mathbb{d}r\mathbb{d}\varphi$

与上述结果是一致的。

14. 球坐标下旋度公式为什么不能直接像直角坐标系那样直接对微量场的各个分量微分进行推导

第一中解释：因为旋度的面积分计算的是原向量场在边界上的环量，而弯曲空间中边界的线元并非恒定的，环量不仅和场强成正比，也和边界的长度成正比，因此不能仅对场强进行微分，而是要对场强和长度的乘积作为一个整体一起进行微分。

第二种解释：如果我们直接对场强进行微分，需要用弯曲空间中的微分，即微分几何中的协变导数。在弯曲空间或弯曲坐标系里，基矢的方向是变化的。例如 $\varphi$ 方向上的基矢随着 的变化在 $\varphi$ 方向上并不为零，不难想象是 $\frac{1}{r}$ , 也就是微分几何中的 $\Gamma^{\varphi}_{\varphi r}$ , 读者可以自己从空间上去想象为什么是 $\frac{1}{r}$ , 因此它也对旋度做了贡献。严格来说这已经延伸到微分几何范畴，作者以后有时间会继续写这些文章，并详细解释各个符号的几何意义。

15. 柱坐标系下的散度公式

柱坐标比球坐标更加简单，因为它是极坐标再拼接一个轴，请读者自己练习，我们直接给出结果。柱坐标系 $\theta-z, z-r, r-\theta$ 方向上的面元分别为

$r\mathbb{d}\theta\wedge\mathbb{d}z, \\ \mathbb{d}z\wedge\mathbb{d}r\\ \mathbb{d}r\wedge r\mathbb{d}\theta=r\mathbb{d}r\wedge\mathbb{d}\theta$

散度公式为

$div(F)=\frac{\partial{(rF_{r}})}{r\partial r}+\frac{\partial{F_{\theta}}}{r\partial \theta}+\frac{\partial{F_{z}}}{\partial z}$

16. 柱坐标系下高斯公式

有了散度公式，我们立即可以写出高斯公式

$\iint_{S}F_{r}r\mathbb{d}\theta\wedge\mathbb{d}z+F_{\theta}\mathbb{d}z\wedge\mathbb{d}r+F_{z}r\mathbb{d}r\wedge\mathbb{d}\theta=\\\int_{V}\frac{\partial{(rF_{r}})}{r\partial r}+\frac{\partial{F_{\theta}}}{r\partial \theta}+\frac{\partial{F_{z}}}{\partial z}r\mathbb{d}r\mathbb{d}\theta\mathbb{d}z$

17. 柱坐标系下的旋度公式

柱坐标比球坐标更加简单，因为它是极坐标再拼接一个轴，请读者自己练习，我们直接给出结果。柱坐标系 $\theta-z, z-r, r-\theta$ 方向上的线元分别为 $\mathbb{d}r, r\mathbb{d}\theta, \mathbb{d}z$ , 面元如上文所述。旋度公式为

$div(F)=(\frac{\partial{F_{z}}}{r\partial \theta}-\frac{\partial{F_{\theta}}}{\partial z}, \frac{\partial{F_{r}}}{\partial z}-\frac{\partial{F_{z}}}{\partial r}, \frac{\partial{(rF_{\theta}})}{r\partial r}-\frac{\partial{F_{r}}}{r\partial\theta})$

18. 柱坐标系下斯托克斯公式

有了旋度公式，我们立即可以写出斯托克斯公式

$\int_{S}F_{r}\mathbb{d}r+F_{\theta}r\mathbb{d}\theta+F_{z}\mathbb{d}z=\iint_{V}(\frac{\partial{F_{z}}}{r\partial \theta}-\frac{\partial{F_{\theta}}}{\partial z})r\mathbb{d}\theta\mathbb{d}z+(\frac{\partial{F_{r}}}{\partial z}-\frac{\partial{F_{z}}}{\partial r})\mathbb{d}z\mathbb{d}r+(\frac{\partial{(rF_{\theta}})}{r\partial r}-\frac{\partial{F_{r}}}{r\partial\theta})r\mathbb{d}r\mathbb{d}\theta$

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从上帝视角望穿外微分、高斯公式与斯托克斯公式在高维空间的统一推广、散度和旋度的推导与球坐标和柱坐标下散度与旋度公式的深入骨髓的直观解释

从上帝视角望穿外微分、高斯公式与斯托克斯公式在高维空间的统一推广、散度和旋度的推导与球坐标和柱坐标下散度与旋度公式的深入骨髓的直观解释

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