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参数方程、极坐标 [导读]学科:数学 教学内容:参数方程、极坐标 一、考纲要求 1.理解参数方程的概念,了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义,掌握参数方 程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数,依据条件建立参数方程. 2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.... 教学内容:参数方程、极坐标 一、考纲要求 1.理解参数方程的概念,了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义,掌握参数方 程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数,依据条件建立参数方程. 2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化为 直角坐标方程,会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程.不要求利用曲线的参数 方程或极坐标方程求两条曲线的交点. 二、知识结构 1.直线的参数方程 (1)标准式 过点Po(x0,y0),倾斜角为α的直线l(如图)的参数方程是 (t为参数) (2)一般式 过定点P0(x0,y0)斜率k=tgα=的直线的参数方程是 (t不参数) ② 在一般式②中,参数t不具备标准式中t的几何意义,若a2+b2=1,②即为标准式,此时, | t|表示直线上动点P到定点P0的距离;若a2+b2≠1,则动点P到定点P0的距离是 |t|. 直线参数方程的应用 设过点P0(x0,y0),倾斜角为α的直线l的参数方程是 (t为参数) 若P1、P2是l上的两点,它们所对应的参数分别为t1,t2,则 (1)P1、P2两点的坐标分别是 (x0+t1cosα,y0+t1sinα) (x0+t2cosα,y0+t2sinα); (2)|P1P2|=|t1-t2|; (3)线段P1P2的中点P所对应的参数为t,则 t= 中点P到定点P0的距离|PP0|=|t|=|| (4)若P0为线段P1P2的中点,则 t1+t2=0. 2.圆锥曲线的参数方程 (1)圆 圆心在(a,b),半径为r的圆的参数方程是 (是参数) φ是动半径所在的直线与x轴正向的夹角,∈[0,2π](见图) (2)椭圆 椭圆=1(a>b>0)的参数方程是 (为参数) 椭圆 =1(a>b>0)的参数方程是 (为参数) 3.极坐标 极坐标系 在平面内取一个定点O,从O引一条射线Ox,选定一个单位长度以及计算角度的正 方向(通常取逆时针方向为正方向),这样就建立了一个极坐标系,O点叫做极点,射线Ox叫 做极轴. ①极点;②极轴;③长度单位;④角度单位和它的正方向,构成了极坐标系的四要素,缺一 不可. 点的极坐标 设M点是平面内任意一点,用ρ表示线段OM的长度,θ表示射线Ox到OM的角度 ,那么ρ叫做M点的极径,θ叫做M点的极角,有序数对(ρ,θ)叫做M点的极坐标.(见图) 极坐标和直角坐标的互化 (1)互化的前提条件 ①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合; ②极轴与x轴的正半轴重合 ③两种坐标系中取相同的长度单位. (2)互化公式 三、知识点、能力点提示 (一)曲线的参数方程,参数方程与普通方程的互化 例1 在圆x2+y2-4x-2y-20=0上求两点A和B,使它们到直线4x+3y+19=0的距离分别最短和最长. 解: 将圆的方程化为参数方程: (θ为参数) 则圆上点P坐标为(2+5cosθ,1+5sinθ),它到所给直线的距离为d==|4cosθ+3sinθ +6|=5・|(cosθ+sinθ)+| =5|cos(φ-θ)+ |,其中cosφ=,sinφ= .故当cos(φ-θ)=1,即φ=θ时 ,d最长,这时,点A坐标为(6,4);当cos(φ-θ)=-1,即θ=φ-π时,d最短,这时,点B坐标为(-2,2). (二)极坐标系,曲线的极坐标方程,极坐标和直角坐标的互化 说明 这部分内容自1986年以来每年都有一个小题,而且都以选择填空题出 现. 例2 极坐标方程表示的曲线C1∶ρ=f(θ),C2∶ρ=-f(π+θ)必定是( ) A.关于直线θ=对称 B. 关于极点对称 C.关于极轴对称 D.同一曲线 解:因(ρ,θ)与(-ρ,π+θ)表示相同的点, 故选D. (三)综合例题赏析 例3 椭圆 (Φ是参数)的两个焦点坐标是( ) A.(-3,5),(-3,-3) B.(3,3),(3,-5) C.(1,1),(-7,1) D.(7,-1),(-1,-1) 解:化为普通方程得=1 ∴a2=25,b2=9,得c2=16,c=4. ∴F(x-3,y+1)=F(0,±4) ∴在xOy坐标系中,两焦点坐标是(3,3)和(3,-5). 应选B. 例4 参数方程 (0 <θ<2π)表示( ) A.双曲线的一支,这支过点(1,) B.抛物线的一部分,这部分过(1,) C.双曲线的一支,这支过(-1,) D.抛物线的一部分,这部分过(-1,) 解:由参数式得x2=1+sinθ=2y(x>0) 即y=x2(x>0). ∴应选B. 例5 曲线的参数方程为 (0≤t≤5)则曲线是( ) A.线段 B.双曲线的一支 C.圆弧 D.射线 解 消去t2得,x-2=3(y-1)是直线 又由0≤t≤5,得2≤x≤77,故为线段 应选A. 例6 下列参数方程(t为参数)与普通方程x2-y=0表示同 一曲线的方程是( ) A. B. C. D. 解:普通方程x2-y中的x∈R,y≥0,A.中x=|t|≥0,B. 中x=cost∈〔-1,1〕,故排除A.和B. C.中y==ctg 2t==,即x2y=1,故排除C. ∴应选D. 例7 曲线的极坐标方程ρ=4sinθ化 成直角坐标方程为( ) A.x2+(y+2)2=4 B.x2+(y-2)2=4 C.(x-2)2+y2=4 D.(x+2)2+y2=4 解:将ρ=,sinθ=代入ρ=4sinθ,得 x2+y2=4y,即x2+(y-2)2=4. ∴应选B. 例8 极坐标ρ=cos(-θ)表示的曲线是( ) A.双曲线 B.椭圆 C.抛物线 D.圆 解:原极坐标方程化为ρ=(cosθ+sin θ);ρ2=ρcosθ+ρsinθ, ∴普通方程为 (x2+y2)=x+y,表示圆. 应选D. 例9 在极坐标系中,与圆ρ=4sinθ相切 的条直线的方程是( ) A.ρsinθ=2 B.ρcos θ=2 C.ρcosθ=-2 D.ρcosθ=-4 解:如图. ⊙C的极坐标方程为ρ=4sinθ,CO⊥OX,OA为直径,|OA|=4,l和圆相切,l 交极轴于B(2,0)点P(ρ,θ)为l上任意一点,则有 cosθ=,得ρcosθ=2, ∴应选B. 例10 极坐标方程4sin2θ=3表示曲线是 ( ) A.两条射线 B.两条相交直线 C.圆 D.抛物线 解:由4sin2θ=3,得4・=3,即y2=3 x2,y=±x,它表示两相交直线. ∴应选B. 【同步达纲练习】 (一)选择题 1.点P的直角坐标为(1,-),则点P的极坐标为( ) A.(2,) B.(2,) C.(2,-) D.(-2,-) 2.直线:3x-4y-9=0与圆:,(θ为参数)的位置关系是( ) A.相切 B.相离 C.直线过圆心 D.相交但直线不过圆心 3.若(x,y)与(ρ,θ)(ρ∈R)分别是点M的直角坐标和极坐标,t表示参数,则下列各组曲 线:①θ=和sinθ=;②θ=和tgθ=,③ρ2-9=0和ρ= 3;④和. 其中表示相同曲线的组数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 4.设M(ρ1,θ1),N(ρ2,θ2)两点的极坐标同时满足下列关系:ρ1+ρ2=0 ,θ1+θ2=0,则M,N两点位置关系是( ) A.重合 B.关于极点对称 C.关于直线θ= D.关于极轴对称 5.实数x,y,θ满足x+yi=(cosθ+isinθ)(3cosθ+isinθ),当θ 变化时,点(x,y)的轨迹是( ) A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆 6.经过点M(1,5)且倾斜角为的直线,以定点M到动 点P的位移t为参数的参数方程是( ) A. B. C. D. 7.将参数方程(m是参数,ab≠0)化为普通方程是( ) A. =1(x≠a) B. =1(x≠-a ) C. =1(x≠a) D. =1(x≠-a ) 8.把极坐标方程ρ=2sin(+θ)化为直角坐标方程为( ) A.(x-)2+(y-)2=1 B.y2=2(x-) C.(x-)(y-)=0 D.=1 9.参数方程 (t为参数)所表示的曲线是 ( ) A.一条射线 B.两条射线 C.一条直线 D.两条直线 10.双曲线 (θ为参数)的渐近线方程为( ) A.y-1=±(x+2) B.y=±x C.y-1=±2(x+2) D.y+1=±2(x-2) 11.直线(t为参数)与圆(θ为参数)相切,则直线的倾斜角为( ) A.或 B. 或 C. 或 D.- 或- 12.已知曲线(t为参数)上的点M,N对应的参数分别为t1,t2,且t1+t2=0,那么M,N间的距离为( ) A.2p(t1+t2) B.2p(t21+t22) C.│2p(t1-t2)│ D.2p(t1-t2)2 13.若点P(x,y)在单位圆上以角速度ω按逆时针方向运动,点M(-2xy,y2-x2)也在单位 圆上运动,其运动规律是( ) A.角速度ω,顺时针方向 B.角速度ω,逆时针方向 C.角速度2ω,顺时针方向 D.角速度2ω,逆时针方向 14.已知过曲线 (θ为参数,且0≤θ≤π)上一点P 与原点O的直线PO的倾斜角为,则P点坐标是( ) A.(3,4) B.(,2) C.(-3,-4) D.(,) 15.直线ρ=与直线l关于 直线θ=(ρ∈R)对称,则l的方程是( ) A.ρ= B.ρ= C.ρ= D.ρ= (二)填空题 16.双曲线 的中心坐标是 . 17.参数方程(θ为参数)化成普通方程为 . 18.极坐标方程ρcos(θ-)=1的直角坐标方程是 . 19.抛物线y2=2px(p>0)的一条过焦点的弦被焦点分成m、n长的两段,则= . (三)解答题 20.设椭圆(θ为参数) 上一点P,若点P在第一象限,且∠xOP=,求点P的坐 标. 21.曲线C的方程为 (p>0,t为参数),当t∈[-1,2]时 ,曲线C的端点为A,B,设F是曲线C的焦点,且S△AFB=14,求P的值. 22.已知过点P(1,-2),倾斜角为的直线l和抛物线x2=y+m (1)m取何值时,直线l和抛物线交于两点? (2)m取何值时,直线l被抛物线截下的线段长为. 23.如果椭圆的右焦点和右顶点的分别是双曲线 (θ 为参数)的左焦点和左顶点,且焦点到相应的准线的距离为,求这椭圆上的点到双曲线渐近线的最短距离. 24.A,B为椭圆=1,(a>b>0) 上的两点,且OA⊥OB,求△AOB的面积的最大值和最小值. 25.坐标平面上有动点P(cos2t+sin2t,-cos2t+sin2t),Q(cost-sint,cost+sint),t∈[0,π],当t变化时: (1)求P,Q两动点的轨迹; (2)当|PQ|=时,求t的值. 参考答案 【同步达纲练习】 (一)1.C 2.D 3.C 4.C 5.D 6.A 7.A 8.A 9.B 10.C 11.A 12.C 13.C 14.D 15.D (二)16.(2,-1);17.y2=-2(x-),(x≤);18.x+y-z=0;19. (三)20.(,);21.; 22.(1)m>,(2)m=3;23.(27-3);24.Smax=,smin=; 25.(1)P点轨迹为圆x2+y2=2,Q点的轨迹为半径圆x2+y2=4(y≥0),(2)t=或t=. |
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