对于积分 \iint\limits_Rf(x,y)dxdy ，进行如下变换

x=r\cos\theta \\y=r\sin\theta

这是一个典型的非线性变换。按照微积分的直觉，我们要把非线性的东西用线性来估计。所以人们发明了雅可比矩阵来用线性变换来估计非线性变换。则对应的雅可比矩阵为：

J=\begin{bmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta \end{bmatrix}

这个矩阵的用法是大概是这样滴：

\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}=J \begin{bmatrix} \Delta r \\ \Delta\theta \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} x_0 \\ y_0 \end{bmatrix}

根据线性代数的知识，我们知道行列式是用来计算线性变换后图形与原先图形的面积比。对于非线性变换，我们可以通过把每个微小的dr和dθ对应的雅可比行列式与之相乘，用于近似dxdy

\det(J)=r\cos^2\theta+r\sin^2\theta=r

由于矩阵本身的特性，行列式有时为负数。但是由于我们是对面积积分，所以在算积分时取其绝对值。最终我们把变换带入，得到：

\iint\limits_Rf(x,y)dxdy=\iint\limits_Df(r\cos\theta,r\sin\theta)\left|\det(J)\right|drd\theta=\iint_Df(r\cos\theta,r\sin\theta)rdrd\theta

因为雅可比行列式，dxdy最终的变换结果是rdrdθ