实验九测定金属的杨氏模量

CCD成像系统测定杨氏模量

【目的要求】

1.用金属丝的伸长测定杨氏模量；

2.用CCD成像系统测量微小长度变化；

3.用逐差法、作图法和最小二乘法处理数据。

【仪器用具】

测定杨氏模量专用支架：支架和金属丝，金属丝下端连接一小圆柱，圆柱中部方形窗中有细横丝供读数用；

显微镜：总放大率25倍，目镜距10mm，目镜前分划板刻度范围0~6.5nm，分度值0.05mm，允差±0.005mm.每隔1mm刻一数字,

CCD成像系统：CCD摄像机，监视器；

以上显微镜及CCD成像显示系统总放大率为62.5

米尺：带有卡口,分度值:1mm，允差:±0.15mm

螺旋测径器：量程：0~25mm，分度值:0.01mm，允差:±0.004mm

电子天平：分度值0.01g,允差：±0.02g

【实验原理】

杨氏模量

根据胡克定理，材料在弹性限度内，正应力的大小σ与应变ε成正比，即

σ=Eε

E为弹性模量，又称杨氏模量，其单位为Pa

对于长为L、截面积为S 的均匀金属丝或棒，在沿长度方向的外力F作用下伸长δL，有σ=F/S，ε=δL/L，则有

E=FL SδL

利用此式测定杨氏模量的方法称为伸长法。

【实验内容】

1.认识和调解仪器

（1）调支架铅直，调小圆柱两侧小螺丝，限制小圆柱转动，并使金属丝下端的小圆柱与钳形平台间无摩擦地上下移动。

（2）先调显微镜目镜，用眼睛看到清晰的分划板像，再调物镜对小圆柱中部方形窗内细横刻线聚焦。

（3）连接CCD和监视器，打开监视器，仔细调节CCD位置及镜头光圈的焦距，直到在监视器屏幕上看到清晰的像。

2.观测金属丝受外力拉伸后的伸长变化

称量9个砝码的质量。在砝码托盘上逐次加砝码，金属丝伸长后，对应的读数r i(i=0,1,2…，8,9).再将所加砝码逐个减去，几下对应的读数r′i(i=0，1,2…，8).

3.测量金属丝L（一次测量）和金属丝直径d（测10次）

用米尺测量金属丝可伸长部分（两固定点之间）的长度。

用螺旋测微器测量金属丝不同位置的直径，测量10次。注意不要损坏金属丝。

【数据表格】

表1 测量金属丝受外力拉伸后的伸展变化数据表

金属丝长度L=___79.95___ cm

表2 测量金属丝直径数据表

螺旋测径器零点读数d 0=0

修正零点后的直径d =d′??d 0，d =d ±σd ?=0.321 ±0.002 mm

【数据的处理与结果】

1.用计算法处理数据。 (1) δL 用逐差法进行处理

δL ????=0.58+0.57+0.58+0.594

mm=0.580mm σδL ????=√

∑(δL i ?δL ????)4i=1

24×(4?1)

=0.004mm

系统允差e δL =0.005mmm+0.005mm=0.01mm

引入系统允差，修正后的σ′δL ????=√σδL ????2+(δL )2 =0.007mm δL =(0.580±0.007)mm

(2) 金属丝长L 的系统允差e L =0.15cm

L=(79.95±0.15)cm

(3) d′

?=1

10∑d′i

10i=1=0.321mm

标准差σd ?=√

∑(d′?d′???)10i=1210×(10?1)

=0.0007mm

螺旋测微器允差e d′=0.004mm

引入系统允差后，修正后的σ′d ?=√σd ?2+(d‘

3

)2=0.002mm d =d′

??d 0=0.321mm-0mm=0.321mm d =d ±σ′d ?=(0.321 ± 0.002)mm (4) M ?=5m ?=5×1

8m 8=999.61g

e M =5×0.02g=0.1g M=(999.6±0 .1)g (5) 由E =

FL SδL

及S=1

4

πd 2(d 为金属丝直径)，可得

(北京地区g=9.81m ?s ?2)

E =

4MgL πd 2δL

=1.67×1011Pa

σE =E√(M ?)2+(L )2

+(2σ′d ?d

)2

+(

σ′δL

????δL

)2=0.03×1011Pa

E=(1.67±0.03)×1011Pa

2.i m i /g r?/mm δL =(r?i ?r?0)/mm

0 0 2.81 0 1 200.07 2.93 0.12 2 399.69 3.03 0.22 3 599.63 3.14 0.33 4 799.53 3.26 0.45 5 999.52 3.39 0.58 6 1199.38 3.49 0.68 7 1399.38 3.61 0.80 8

1599.37

3.73

0.92

作δL ?m 图，考察两个物理量之间是否成直线关系

根据作出的图，两个物理量成很好的直线关系。

R 2=0.9994非常接近1，说明δL 与m 成很好的直线关系。 将δL 和m 的相应数据用最小二乘法求直线斜率k ，且有k=

4Lg

πd 2E

，并计算E.

k=

∑(x i ?x?)(y i ?y

?)n i=1∑（x i ?x?）2n i=1

=5.74×10?4mm/g=5.74×10?4m/kg

E=

4Lg

kπd 2

=1.69×1011Pa

与计算法得到的E=1.67×1011Pa 比较接近 但最小二乘法得到的结果更接近真实值。

【讨论】

计算法和最小二乘法得到的金属丝杨氏模量相近，最小二乘法得到的值更准确，E ≈1.7×1011Pa ，比金属丝杨氏模量真实值偏小。 根据E =

4MgL πd 2δL

以及各个测量量的不确定度分析误差来源。

引起误差的主要来源是δL 。δL 间接测量值可能偏大，可能是通过CCD 显示屏测量金属丝伸长量时，没有将读数显微镜的刻度线与金属丝下方小圆柱方形传中的细横线平行，导致读数误差偏大。而且由于金属丝的伸长非常微小，引起的相对误差较大。

另一个可能引起较大误差的量是金属丝直径d ，因为待测金属丝直径非常小，使得相对误差较大。

引起误差的其他原因：圆柱两侧的钳形平台两侧限制圆柱转动的小螺丝与圆柱有摩擦，或没有固定好，造成金属丝转动引起误差。用螺旋测微器测量金属丝直径时，引起金属丝损坏带来误差。周围环境振动引起读数不稳定引起的误差。