13. 机器人正运动学 |
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1. 引言 2. 雅克比矩阵 3. 机器人雅克比矩阵 4. 求解雅克比矩阵 4.1 几何法 1. 引言 前面的一些文章我们一直对机器人进行静态分析,也就是给定一组关节角求机器人末端位姿。这篇文章我们来分析一下关节角的运动将怎样影响机器人末端的位置和姿态。这就是雅克比矩阵了。 2. 雅克比矩阵还是先了解一下雅克比矩阵的由来吧。我们在高数中都学过函数以及函数的导数,设有一个关于时间 为了直观定义 扩展一下,设 还是以微分形式表达自变量 同样为了直观定义: 那么 接下来再扩展一下,自变量不是一维的时间 这个时候要怎么写这个微分表达式呢?其实也并不复杂,把所有的函数对所有的自变量都求一次导数然后按照一定的顺序排列一下就可以了,如下: 同样,为了直观,我们定义: 那么 总结一下你会发现不管自变量和函数值是标量还是向量,他们之间微小量的变化总是存在一种固定的联系,那就是: 其中 前面介绍了雅克比矩阵的基本概念,很显然机器人雅克比矩阵描述的是关节转速(自变量)和末端笛卡尔速度和角速度(函数值)之间的关系。那么在机器人学中雅克比矩阵有什么用呢?总结来说: DH参数可以把关节角映射为末端执行器的位置和姿态雅克比矩阵可以把关节转速映射为笛卡尔空间的速度和角速度DH参数和雅克比矩阵可以认为是机器人正运动学的基础。 4. 求解雅克比矩阵怎么求解雅克比矩阵呢?其实大体上有两个思路,第一个思路是从几何意义去考虑:找出每个关节的微小变化如何影响笛卡尔空间中位置和姿态的微小变化,后面简称几何法。 第二个思路是从数学意义的角度出发:推导出每个关节的微分与笛卡尔空间微分之间的关系,后面简称解析法。这篇文章主要介绍几何法,分析法涉及到矩阵求导等复杂的公式推导,下一篇文章单独介绍。 4.1 几何法几何法求解雅克比矩阵相对来说简单直接。先从一个最简单的情况出发,设六轴机器人当前的关节角为 解释一下图中符号的含义,提前声明,图中所有的点和向量都是在机器人的基坐标系下描述的,除关节2以外所有关节均锁位。 有了前面的这些阐述我们就可以求法关节 由于只有关节 那么关节 在这里: 可见 对于移动关节就更简单了,它只能造成末端法兰盘沿着 连杆 高中物理中我们学过速度是满足叠加原理的,大学物理中扩展了这个描述,角速度也是满足叠加原理的。因此,机器人在某一个固定的位姿下,我们单独求解每一个关节的转速与末端笛卡尔速度和角速度的关系然后把它们加在一起就可以了! 对于以上的六关节机器人,它的雅克比矩阵即为: 其中: 这篇文章主要介绍了雅克比矩阵的由来以及几何法求解雅克比矩阵的方法,下一篇文章我们将介绍利用解析法求解雅克比矩阵。由于个人能力有限,所述内容难免存在疏漏,欢迎指出,欢迎讨论。 |
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