这道高中数学中的等比数列问题原来还有如此深刻的应用，可能并不为大众所知，那么我们就来看看朱载堉是谁，数学与音乐结合的十二平均律又是怎么一回事。

爱科技的音乐王子

朱载堉(1536-1611)是明朝开国皇帝朱元璋九世孙，正宗的皇家子弟。明朝第四位皇帝明仁宗死后，其长子朱瞻基继承皇位，是为宣宗。朱瞻基的弟弟朱瞻埈被封“郑王”。“郑”是封地，又称藩国，郑王藩国的王府就在今天的河南沁阳。郑王传至朱载堉的父亲朱厚烷，10岁的朱载堉被册封为“世子”。朱载堉本来可以当个欢乐的王二代，享乐一生，然后继承王位，但他却脱离了低级趣味，选择了不同的人生。

朱载堉少年时，父亲朱厚烷因为看不下去当时嘉靖帝沉迷道教，大兴土木修建道场甚至不理朝政，就上疏谏言。还有一个原因就是在朱载堉家族中，出现了争夺王位的内讧，朱厚烷被诬告叛国。总之，皇帝很生气，后果很严重。朱载堉15岁时，朱厚烷被削爵囚禁。朱载堉自然也受到了牵连，但这位正义的少年决定用行动抗议。在王宫的外面，多出了一间土屋，朱载堉住了进去，他发誓父亲一日不归，自己也不回宫。结果这一住就是18年，嘉靖帝死后朱厚烷才得以平反回宫。虽然这段时期生活艰苦，朱载堉却沉浸在学习的海洋里。朱厚烷回来后拉上自己的儿子一起学习律学，研究音乐中的数学问题。

朱载堉少年时代的阅历，使他终身远离名利场，潜心科学艺术事业。更夸张的是，朱厚烷过世后，朱载堉主动让出继承权。起初，皇帝自然不同意。朱载堉历经15年7次上书，才最终将爵位让出。后人赞颂朱载堉为“真天潢中异人也”。

毕生精力投入学术研究中

不爱王位的朱载堉喜欢什么呢？用今天的话来讲，他把自己毕生的精力投入到了学术研究中。他是集数学、律学、音乐、乐器制造、舞蹈、天文历法于一身的伟大学者，被著名科学史家李约瑟称为“东方文艺复兴式的圣人”。除了首创十二平均律（twelve tone equal temperament），朱载堉在科学上还有很多伟大的成就：最早使用算盘进行开方运算；完成九进制和十进制的小数换算；首次找到了四项等比数列的求解方法和求解公式；通过实验提出了管口校正方法；自行设计了以十二平均律为原理的定音乐器；通过排黍定尺实验，研究度量衡的变迁史，其方法影响深远；准确地计算了回归年长度，以此推算了北京地区的地理纬度；测定洛阳地区的地磁偏角，这是科学史上第一个有精确数值的磁偏角记载。

在文艺方面，朱载堉也成就颇丰。他为与音乐相配的“舞学”奠定了理论基础，为“舞学”提出了一系列颇为先进的教育观念。他的音乐教育，包括乐器伴唱、识谱学唱等方法至今仍有影响。朱载堉留下了大量的舞蹈图谱，他设计的 《天下太平舞》，可谓开创了团体操的先河。这位音乐王子作词脍炙人口，在文学性上有强烈的批判现实主义色彩。朱载堉一生笃学不怠，潜心著书，著述超过百万字。他晚年“一人吹律，一人弹琴，一人击缶而歌。余亦自歌，互相倡和，而乐在其中矣。”

▲朱载堉设计的《天下太平舞》开创了团体操的先河（图片来源：中国科技馆）

十二平均律：一个八度为何分成12份？

朱载堉最重要的贡献就是他第一个解决了律学中的“返宫”难题，发明了十二平均律（也称十二等程律），他自己称之为“新法密率”。学过钢琴的同学都知道，钢琴一个八度是七个白键和五个黑键，这十二个音就体现了十二平均律。简单说，就是把两个do之间平均分了十二份，每份就是一个半音，这些音可不是凭空哼出来的，而是真的用算盘计算出来的，每个音的频率为前一个音的2开12次方，即1.059463094359295倍。

人类对于声音的探索已经有数千年历史了。音乐是世界的语言，我们发展出了各式各样的音乐形式。为什么要把一个八度分成12份？这要从人类的听觉开始谈起。人类能听到的声音频率大概在20Hz到20000Hz之间，但我们大脑接收到声波后，不会认为按等差数列排布的声音（如200Hz、300Hz、400Hz）是等间距的，而是按等比数列的形式（如100Hz、200Hz、400Hz），两个八度之间的距离在频率上就是两倍关系，比如高音do的频率是do频率的2倍。

虽然古人还不能从物理原理上阐释声音的产生和传播规律，但很早人们就知道弦振动的频率和其长度成反比。如果用手按住一根弦的中间，就成为了2根以1/2长度振动的弦，我们会听到一个比较高的音，它的频率和主音F频率相比是2:1，恰好是一个八度。那如果在其他位置呢？在数学上3:1、4:1都是简单的比例，它们能得出两个重要的频率，前者是主音的3/2倍，它们的音程关系在乐理上被称为纯五度。后者是主音的4/3倍，被称为纯四度。

不同音程间的和谐程度不同，越是这样简单的比例听起来越和谐。我们可以在一根弦上不断地寻找最和谐的音，在听觉上除了两个八度，最和谐的就是纯五度和纯四度，那么就可以继续把它们的频率减半找到相应的最和谐音，3/2F自身的3/2倍，成为了9/4F，相当于超出了两个八度，但我们可以在两个八度内找到与它等价的音，就是它的1/2，成为了9/8F。

那么可以继续找到3/2的3次方、4次方，无限找下去吗？古人也没有这么傻，经过一番尝试后，人们发现找到12个音就能大致让最和谐的音循环起来。事实上，只要计算5次，就能得到五度相生律，这就是古希腊数学家毕达哥拉斯提出的方法，再加上主音和4/3主音，就是我们今天用的do到si七个音。

▲中国古代音律与西方音律对应（来源：刘娅娅，《朱载堉等程律创立流程探析—几何、算术、音律与物理声学的综合》）

用81档特大算盘解决“返宫”千年难题

但是，无论是五度相生还是三分损益，都不能实现“黄钟还原”，也就是我们刚才提到的返宫问题，对应的西方乐理即不能“闭合成圈”（closed cycle）。其具体意思是，三分损益进行12次后，所得到的音和最初的音不成八度关系，无法周而复始地旋宫转调，而且三分损益法本身计算精度就不足，加之当时乐器制造是凭经验而非数学和物理学原理，所以找到真正的十二平均律成了一大难题。

▲我国古代音律的返宫问题（图片来源：中国科技馆）

朱载堉充分汲取了前人的经验，他了解到八度的弦长比为2:1，把八度以等比的形式平均分成12分，则需构成一个等比数列。但当时还没有等比数列的求解方法，他看到《周礼》中记载的勾股定理得到启发，将黄钟定位1，一个八度内音程为2，即构成了一个首项为1，末项为2，共13项的等比数列，比例系数就是。那么如何找到这个比例系数呢？用今天的方法来看只需他将2开方得到了中间项（蕤宾），再继续开平方为得到半列的中间项（南吕），继续开立方则得到应钟，也就是

为什么一个如此简单的等式竟然要用千年来找到，如果把我们放在朱载堉的时代，因为当时所用的黄钟弦长为9，没有人把它定义为1，而朱载堉利用圆内接正方形，从数学上进行了推论。我国科学史家戴念祖先生就认为，朱载堉其实已经通过简单的运算得到了比例系数，如果不用《周礼》中圆内切正方形的方法推论黄钟为1，则会被同时代的律学家指责为事先返宫。所以有些说法认为十二平均律是发现，而不是发明，因为解决返宫问题，“等程律”是必然的。

▲乐律名称与几何数列对应表（来源：戴念祖，朱载堉的生平及其数学成就——纪念朱载堉诞生 480 周年）

值得一提的是，朱载堉在十二平均律的研究中，使用算盘进行开方运算精度达小数点后24位！他自己设计了81档的特大算盘，最终解决了十二平均律这个千年难题，不仅在数学史上，也在音乐理论史上具有划时代意义。

▲朱载堉使用的八十一挡双排大算盘（图片来自网络）

命途多舛的十二平均律

朱载堉创建十二平均律后说：“此盖二千余年之所未有，自我圣朝始也，学者宜尽心焉。”

可惜的是，十二平均律只是墙内开花墙外香，欧洲人在赞叹并实践朱载堉的伟大发明的时候，在中国朱载堉的著作却被束之高阁。

一方面，朱载堉生活的时代，明朝已经开始风雨飘摇。朱载堉所创建的律学并未引起当朝者的重视。乐律与历法一直被认为事关江山社稷，不会轻易更改。尽管朱载堉有皇室血统，但其相关著作没有被刊印推广，更像是他自己自娱自乐的产物。等到最高层注意到朱载堉的成就时，已经到了“康乾盛世”。为了巩固清朝皇室根基，乾隆帝极力维护康熙打压朱载堉的做法，十年间下六道圣旨，令他的儿子和殿前大臣对朱载堉本人和他的理论展开批判，展开了文字狱式的围剿。而真正了解朱载堉的成就，清代有记载只有音律学家江永一人。

在西方，一般认为法国数学家梅森（Marin Mersenne）首先给出十二律精准数值，发表于1636年的著作中。在他之前有荷兰数学家斯台文（Simon Stevin）提出用等比数列的思想解决“闭圆”问题（1596年），但他有计算错误，而且他的成就在三百年后才被发现。不过，同时代意大利传教士利玛窦已经记录了朱载堉关于新法密率的内容，但是否当时就流传到西方学者中还需要更多的史料考证。

朱载堉的理论在西方产生了深远影响。德国物理学家亥姆霍兹（Hermann von Helmholtz）说到：“在中国人中，据说有一个王子叫载堉的，他在旧派音乐家的大反对中，倡导七声音阶。把八度分成十二个半音以及变调的方法，也是这个有天才和技巧的国家发明的。”

▲西方在17世纪才认识到中国古代音乐方面的成就（图片来自网络）

不过这里还应澄清，把朱载堉誉为“钢琴理论的鼻祖”就言过其实了，虽然乐理上有共通之处，但民族和文化发展都有各自特色，就像没有十二平均律之前，我们依然也有优美的音乐一样。

文/王洪鹏（中国科技馆高级工程师）

记者/刘辛味 编辑/陈永杰

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