学习阶段：大学数学。

前置知识：极限的运算。

求极限时，代入有时会得到正确的结果，有时却会出错，为什么呢？而且，有的解题过程中只选择性地代入其中的一部分，这究竟是怎么回事呢？

我们首先要了解未定式这个概念。我的这篇回答里面大致讲解了一下未定式：

未定式有多重要？那些不容易做的、容易做错的极限，全都是未定式！你可以自己验证看看。

未定式核心的难点就在于：无穷小（无穷大）是不一样的，有的快有的慢，它们的快慢会决定最终极限的值。

什么叫整体代入？把极限算式

对于无穷极限

我们知道，极限

函数连续的定义：

也就是说，函数若在某点连续，则求该点的极限时可以整体代入。

定理：初等函数在其定义区间内连续。

上述定理就是很多极限式可以整体代入的原理。例如

是正确的。虽然式子看上去很复杂，但是

易知，如果函数在该点左连续/右连续，求该点的左极限/右极限时可以整体代入。

对于初等函数，不连续点要么是孤立点（有的地方认为孤立点是特殊的连续点），要么没有定义。孤立点无法讨论在这点的极限，无定义点有以下两种情况：

①函数在这一点是个未定式，不能整体代入。但是函数在这一点的极限可能是存在的，求这个极限的值就是很多极限题的形式。例如重要极限

在x=0处无定义，用整体代入得到的是未定式

②函数在这一点不是未定式，可以形式上进行整体代入，例如

显然，上式的分子趋向于2，分母趋向于0，形式上写出

对于非初等函数，不连续点的情况比较复杂，一般不进行代入。求该点的极限时，可以从极限的定义出发，研究左极限和右极限是否存在、是否相等、值为多少。

求函数的极限时，如果不能整体代入，我们有机会部分代入。部分代入的含义是：函数中的某一部分存在极限，将这一部分的极限值替代这一部分。

对于极限式

以下2.1和2.2是两种具体情况：

对于纯加减形式

对于纯乘积形式

例如

要进行部分代入，一定要找到这步代入的依据，保证这步部分代入不会对未定式造成干扰，不会影响最终极限的值。最忌讳的就是盲目、随意地进行部分代入，否则很容易求错极限。

以下举几种常见例子：（并不是说只有这几种形式不能部分代入）

对于加减后再乘除的形式如

这是个

错误做法（以下所有的红色等于号是错的）：

正确做法：

法二：

注意泰勒展开

对于乘除后再加减的形式如

这是个

错误做法：

正确做法：

法二：

注意泰勒展开

复合函数内部的加减乘除形式，不是整体的加减乘除形式，不能直接部分代入。例如

这是个

错误做法：

正确做法：

法二：

注意泰勒展开

乘除未定式

但是在加减式中，不可以这样操作，因为最高阶/最低阶可能抵消，然后起作用的是剩下的那些项。甚至如

由以上讨论知，乘积形式有比较好的性质，那么如何化为乘积形式？

未定式

未定式

指数型未定式

化为乘积形式对于运用等价无穷小也有很大的帮助。