数论小白都能看懂的数学期望讲解
ShineEternal
2019-07-26 10:27:42
Personal
# -1.灌水
[这里阅读应该效果更佳](https://blog.csdn.net/kkkksc03/article/details/99619790)
- 想了解更多关于数论的内容,可戳[这里](https://45475.blog.luogu.org/linear-equation-group)
![](https://i.loli.net/2019/08/13/JVikyN6KT3WhsrF.jpg)
感谢@command_block 大佬提出宝贵建议
也感谢洛谷及UVA的相关题目
如果有小瑕疵可以在评论区提出
内容可能有点多~~但很简单~~ ,望大家耐心食用
# 0.前言:
数学期望当前在OI中是一个类似于数论方面门槛的知识,在竞赛中有考察。本文将详细的讲解此内容,但也不是只纠缠于简单的概念,而会解决一些题目.可能这样介绍的知识对于大佬来说还是比较基础,但对像我这样的萌新来说通俗易懂,所以请各位口下留情。
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# 1.什么是期望?
日常生活中,我们每做一件事,都有对它的期望,这里的期望不仅仅只结果的胜负之类,也可以与状态有关。但在OI中,一般指的就是达到结果的期望,最朴素的计算是**每次可能结果的概率乘以其结果的总和**
这是最基本的数学特征。
广义下的定义:一次随机抽样中所期望的某随机变量的取值。
数学定义:![](https://i.loli.net/2019/08/13/dgYoKerEswl6nCF.png)
# 2、期望的小性质:
- 设X是随机变量,C是常数,则$E(CX)=C\times E(X)$
简单证明一下:
设x 的多个随机变量为
$$Ca_1,Ca_2,Ca_3...Ca_n$$
对应的出现概率为
$$p_1,p_2,p_3...p_n$$
那么对应的求期望的式子
$$E(CX)=C\sum_{i=1}^{n}(a_i\times p_i)$$
(C提出来)
由于:
$$E(X)=\sum_{i=1}^{n}(a_i\times p_i)$$
所以
$$E(CX)=C\times E(X)$$
~~下面的可以自行思考,都不难~~
- 设X,Y是任意两个随机变量,则有$E(X+Y)=E(X)+E(Y)$。
- 设X,Y是相互独立的随机变量,则有$E(XY)=E(X)\times E(Y)$。
- 设C为常数,则$E(C)=C$。
# 3.期望与均值?
期望与均值是两个十分相近的概念,但又可以说是截然不同。
- 均值往往是在实验中简单的对数据进行平均。
- 而期望就好像在上帝视角的人。
举个掷骰子的例子:
我们的均值怎么算呢?
显然要掷上一定多的次数来求平均数。
比如,掷了6次,分别为1,5,5,6,3,3,那么均值为
$$\frac{1+5+5+6+3+3}{6}=3.8333333...$$
~~居然无限循环小数...看来我是自己出数坑自己~~
可是期望呢?
我们不用掷骰子就能计算出来:
![](https://i.loli.net/2019/08/13/tAKIfgyuY6xRZrD.png)
可以看出,两个值是有明显差别的,而且还时刻不同。
但是为什么容易弄混呢?
因为~~我太弱了~~在将多个均值求均值后,两者就无限接近了。
# 4.引入:
### 问题1:
*先看一个问题:*
甲乙两个**正常**人赌博,丙作为裁判监督,五局三胜,赢家可以获得100元的奖励。当比赛进行到第四局的时候,甲胜了两局,乙胜了一局,但这时赌场遇到了警察的查封,丙见势不妙,立马逃走了,甲乙两人被迫中止了比赛,那么,如何分配这100元?(每局都能分出胜负)
#### 方案1:
每人50元。
这显然是和平解决问题的方式,此时乙会赞成,但是甲一定有意见,显然,自己已经拿下赛点,不可能心甘情愿的平均分钱。
#### 方案2:
按照获胜的概率分。
假设比赛继续进行,那么下一轮:
50%:甲赢,拿下100元。
50%:乙赢,继续比赛。
### 但是,如果问题就进行到这里,也就没有接下来的期望了。
当然,如果乙~~在暗中操纵下~~赢了,那么再下一轮中,
甲乙两人都有50%的概率获胜,拿下100元。
~~甲乙:??这怎么算?~~
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再次观察。
假设甲最终输了,那么他是在什么概率下输的呢?
$\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$
他实际上只有四分之一的概率输。
显而易见,因为每局都能分出胜负,所以他有$\frac{3}{4}$的概率赢掉。
那么情况就简单了,我们根据他们的胜率来分钱。
甲分$100\times \frac{3}{4}=75$元
乙分$100\times \frac{1}{4}=25$元
此游戏完结~
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### 问题2:
一位公司招募员工,几乎没有什么面试,甲乙两个年轻人就意外的获得了一份工作,这时,面试官却说要给他们发入司奖金,每人需要从各自的三个红包中选择一个。
此时,他们已知红包中有一个1000元的,两个500元的。
两位年轻人各自抽取了一个。
他们刚要打开红包,面试官却制止了他们,随机打开每人剩下红包中的一个,相同的,里面都装着500元钱。
于是面试官向他们询问:如果同意你们用手上的红包换取未打开的红包,你会换吗?
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乍一看,这是一个无厘头的问题,可能有些意气风发的人便想到坚持自我等诸多大道理,或者暗自猜测面试官在红包上做了什么标记。
但也有些人想把握机会。
凑巧,甲坚持了原来的选择,乙却尝试了机会。
表面上看,这是一个完全机会均等,拼手气的选择。
但真的是这样吗?
稍加理性分析,我们可以得到一个初步的结论,帮助我们做出选择:
如果员工刚开始恰巧选择了1000元,他不交换会得到1000元,而显然有更大概率他刚开始选到了500元,那么他相应的就只能得到500元了。
**由此,选择交换会获得更大的收益。**
当然,我们可以不仅仅停留在定向判断。
下面定量计算一下:
设为A,B,C三个红包
当员工选择了A红包后,就将三个红包分为两组,第一组为A红包,第二组为B、C红包。很明显1000元在第一组的概率为$\frac{1}{3}$,在第二组的概率为$\frac{2}{3}$,而面试官打开了B红包,发现B为500元红包,这里其实是帮助员工在第二组里筛选掉了一个错误答案,所以1000元在C红包的概率其实为$\frac{2}{3}$。
#### 所以就要换喽
~~当然,看到是面试官来做这个实验就知道这还是一个面试环节~~
~~于是甲就被炒鱿鱼了~~
![](https://i.loli.net/2019/08/13/IDQE7OWJugRGPVd.jpg)
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但是,当甲走到门口时,面试官灵机一动,告诉他可以再回答一个问题。
于是甲满怀激动地走了过来。
面试官~~把~~向两人~~踢出~~提出了下一个问题:
如果给你手上的红包,让你换已经打开的呢?(打开的那个是500元)
~~显然无论如何都是不换的于是两人完美的成为了同事~~
~~面试官因招到了人完美的收到了4000元~~
> 这其实是一个著名的三门问题,也称为蒙提霍尔问题、蒙特霍问题或蒙提霍尔悖论,这个问题因在数学逻辑推理上合理,但违背直觉而闻名于世
# 5、期望的应用
### 彩票问题
> 在买彩票中,大多数人相信基本上是没法中奖的,但还是有少数人幻想,于是就再这里简要分析一个彩票问题的期望.
设一张彩票为2元,每售$1000000$张开奖,假设中奖号码为$342356$,则每张彩票有一个对应的六位数号码,奖次如下:(中奖不叠加)
- 末位相等,安慰奖:奖励4元,中奖概率0.1
- 后两位相等,幸运奖:奖励20元,中奖概率0.01
- 后三位相等,手气奖:奖励200元,中奖概率0.001
- 后四位相等,一等奖:奖励2000元,中奖概率0.0001
- 后五位相等,特等奖:奖励20000元,中奖概率0.00001
~~某大佬:咦我六位都相等,快给我200000元!!!~~
~~彩票公司:你没看你这一项没有吗?你只是特等奖(我是不会告诉你再给钱就亏了~~
**那到底为什么亏了呢**
我们来用简单的概率知识来计算一下,对于每一位购买彩票的用户,公司可能支出为:
$$0.1\times 4+0.01\times 20+0.001\times 200+0.0001\times 2000+0.00001\times 20000=1.2$$
也就是说,公司期望对每个人赚0.8元。
每1000000张,就是800000元!
回到刚才大佬的疑问,显然,如果按照开奖规律继续的话,公司会少赚200000元!!
~~这显然是一笔不小的损失~~
彩票公司:我这怎么给员工发工资?!
![](https://i.loli.net/2019/08/13/k3ewWJhVqpGPFS6.jpg)
dalao:
![](https://i.loli.net/2019/08/13/RKk2D7MGLTZcmI8.jpg)
由此可见,彩票公司售卖彩票会让买家有~~惊现~~不同的体验(奖次不同),但即使是随机生成彩票号码,卖得多了所支出的钱一定在期望值附近,而能保证稳定的收入,而且彩票单价低,还有可能中那么多奖,买的人多,这样彩票市场才得以持续下去。
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提示区:下面两道题目为初级期望,大佬可跳过食用,直接到高次期望
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# 6.例题1
https://www.luogu.org/problem/P2911
- 题意简叙:
三个骰子,每个面的概率均等,显然,三个面相加能得到一个唯一的数,而得到这个唯一的数却有多种不同的组合方法。
现在你需要求出哪个和出现的概率最大。
### 解法1:
这题的数据范围很小,直接暴力跑三重循环就行了。
### 解法2:
这里我~~闲的没事~~用了与期望相关的知识来简化了一下。但是这里只是定向的判断一下。
直接计算骰子的期望,得:
$$\frac{(a+b+c+3)}{2}$$
但是这个想法却有考虑不周的情况,这里留给读者思考。
# 7.例题2:
思考题:
*tag:这道题笔者并没有找到题目出处,如有发现者,欢迎在评论区留言!*
- 给定一个无向图,每个点可以等概率地走到与它有边的点
- 求从1走到n所需要的期望步数
- N(x+1)^2->x^2+2x+1$$
运用这种方法,我们可以在求出$a[i]$的基础上推出$b[i]$
同理,设$f[i]$表示前i位中第i位为1的长度的立方的期望:
则有:
$$f[i]=(f[i-1]+3\times b[i-1]+3\times a[i-1]+1)\times p[i]$$
- 哇塞我要A紫题了!!!
然后在满心欢喜的提交上去后发现wa了。
![](https://i.loli.net/2019/08/13/nr152QKgxqmH3Xv.jpg)
显然,我们还有没考虑到的地方?
是什么呢?
是最后求得的答案与中间过渡式子的不同性。
其实,前三个式子我们都只考虑**第i位**,这样做是为了递推下面的式子,但是答案让我们求出最终的期望分数,也就是**前n位**,这时输出f[n]自然就炸了。
所以,只需把三次方递推式稍微变形一下即可;
$$f[i]=(f[i-1]+3\times b[i-1]+3\times a[i-1]+1)\times p[i]+f[i-1]\times (1-p[i])=f[i-1]+(3\times b[i-1]+3\times a[i-1]+1)\times p[i]$$
这样最终的$f[n]$就是答案喽!
### code:
```cpp
//AC记录:https://www.luogu.org/record/21569138
#include
using namespace std;
double a[100005],b[100005],f[100005],p[100005];
int main()
{
int n;
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i=0;i--)
{
a[i]=a[i+1]+1.0*n/(n-i);
f[i]=1.0*i/(n-i)*(2*a[i]+1)+f[i+1]+2*a[i+1]+1;
}
printf("%.2lf\n",(f[0]+a[0])/2);
return 0;
}
```
# 11、其他推荐题目
P1850 换教室 ————2016NOIPTG题目,dp+期望,值得一做
P3802 小魔女帕琪————也挺好,入门的分析
# 12、条件期望(略微进阶)
这种期望的求解一般是在有一定条件下的。~~废话~~
*如下题:*
假设你不断扔一个等概率的六面骰子,直到扔出6停止。求在骰子只出现过偶数的条件下扔骰子次数的期望。
### 分析:
第一眼,我的答案是3
至于如何得出的,在这里就不卖关子了,因为上面的答案**是错的!**
思考一下,为什么呢?
我们再读一下题:
---
假设你不断扔一个等概率的六面骰子,直到扔出6停止。求在骰子只出现过偶数的条件下扔骰子次数的期望。
求在骰子只出现过偶数的条件下扔骰子次数的期望。
只出现过偶数的条件
只出现过偶数
只出现
只
---
~~抽丝剥茧~~
细细的考虑一下,题目所说的并不是指出现奇数就pass再扔,而是出现奇数就终止了操作!!!
所以把条件这样转换后,就可以得到正确答案:$\frac{3}{2}$ 了
什么?你问怎么得到的?
那我把题意转换一下:
> 假设你不断扔一个等概率的六面骰子,直到扔出1,3,5,6停止。求骰子最后一次是6次数的期望。
这样再结合前面的知识,大家应该都明白了吧。
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这类问题属于数学期望中较有拓展的知识,考察的概率较低,感兴趣者可作为兴趣钻研。~~其实也不难~~
# n.总结&&后记:
其实期望看上去挺高深的东西,仔细研究一下也不难~
主要就是最基础的式子,然后高次的推导,其实很多题就是dp结合了数学期望方面的理论
找到了方向(其实上来基本就有方向)一顿猛推还挺有成就感,最后潇洒的码上几行极短的代码A掉。
唯一可能有难度的就是引用了二项式等知识(and条件期望?)
但这些也不怎么是事啦!
## 其实,后面某些题的做法还有一个名字叫概率dp
所以恭喜您又学了一种dp!
> 期望的定义等少数内容为了精准参考了百度百科即其他大佬的blog等,本文如有错误,欢迎大佬指正
**感谢您的阅读,点赞、评论是一种美德**
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