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有限元法( FEM )是一种流行的方法，用于数值求解工程和数学建模中出现的微分方程。感兴趣的典型问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量传递和电磁势等传统领域。

“有限元”重定向至此。对于一个偏序的元素，请参阅紧凑元素。

有限元法是求解两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边值问题）的通用数值方法。为了解决一个问题，FEM 将一个大系统细分为更小、更简单的部分，这些部分称为有限元。这是通过空间维度中的特定空间离散化来实现的，该离散化是通过构建对象的网格来实现的：解的数值域，它具有有限数量的点。边值问题的有限元法公式化最终产生代数方程组. 该方法在域上逼近未知函数。然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程组，以模拟整个问题。然后，FEM 通过变分法最小化相关误差函数来近似解。

将整个域细分为更简单的部分有几个优点：

该方法的典型工作包括：

全局方程组具有已知的求解技术，并且可以从原始问题的初始值计算得到数值答案。

在上面的第一步中，元素方程是局部近似要研究的原始复杂方程的简单方程，其中原始方程通常是偏微分方程（PDE）。为了解释这个过程中的近似，通常引入有限元法作为Galerkin 方法的一个特例。用数学语言来说，这个过程是构造残差和权重函数的内积的积分并将积分设置为零。简单来说，它是一个通过将试验函数拟合到 PDE 中来最小化近似误差的过程。残差是试验函数引起的误差，权重函数是多项式的投影残差的近似函数。该过程消除了 PDE 中的所有空间导数，从而在局部近似 PDE

这些方程组是元素方程。如果基础 PDE 是线性的，则它们是线性的，反之亦然。稳态问题中出现的代数方程组使用数值线性代数方法求解，而瞬态问题中出现的常微分方程组使用标准技术（例如欧拉法或龙格-库塔法）通过数值积分求解。

在上面的步骤(2)中，通过从子域的局部节点到域的全局节点的坐标变换，从元素方程生成全局方程组。这种空间变换包括与参考坐标系相关的适当方向调整。该过程通常由 FEM 软件使用从子域生成的坐标数据来执行。

FEM 的实际应用称为有限元分析(FEA)。在工程中应用的 FEA是一种用于执行工程分析的计算工具。它包括使用网格生成技术将复杂问题划分为小元素，以及使用有限元算法编码的软件。在应用 FEA 时，复杂问题通常是具有基础物理的物理系统，例如Euler-Bernoulli 梁方程、热方程或Navier-Stokes 方程，以 PDE 或积分方程表示，而复杂问题的划分的小元素代表物理系统中的不同区域。

FEA 可用于分析复杂域（如汽车和输油管道）、域发生变化时（如在与移动边界发生固态反应期间）、所需精度在整个域内发生变化时或求解时的问题。缺乏平滑度。FEA 模拟提供了宝贵的资源，因为它们消除了针对各种高保真情况创建和测试硬原型的多个实例。例如，在正面碰撞模拟中，可以提高汽车前部等“重要”区域的预测精度，并降低其后部的预测精度（从而降低模拟成本）。另一个例子是数值天气预报，在这种情况下，对发展高度非线性的现象（例如大气中的热带气旋或海洋中的涡流）进行准确预测比相对平静的区域更重要。

有限元方法的特征在于变分公式、离散化策略、一个或多个求解算法和后处理程序。

变分公式的例子有Galerkin 方法、不连续 Galerkin 方法、混合方法等。

离散化策略是指一组明确定义的程序，包括 (a) 有限元网格的创建，(b) 参考单元上的基函数（也称为形状函数）的定义和 © 参考映射元素到网格的元素上。离散化策略的例子有 h-version、p-version、hp-version、x-FEM、isogeometric analysis等。每种离散化策略都有一定的优缺点。选择离散化策略的合理标准是在特定模型类中为最广泛的数学模型集实现近乎最佳的性能。

各种数值求解算法可分为两大类；直接和迭代求解器。这些算法旨在利用依赖于变分公式和离散化策略选择的矩阵的稀疏性。

后处理程序设计用于从有限元解中提取感兴趣的数据。为了满足解决方案验证的要求，后处理器需要根据感兴趣的数量提供后验误差估计。当近似误差大于被认为可接受的误差时，离散化必须通过自动自适应过程或分析师的行动来改变。有一些非常有效的后处理器可以实现超收敛。

以下两个问题演示了有限元方法。

P1 是一个一维问题 其中 f {\displaystyle f} f给出， u {\displaystyle u} u是一个与 x {\displaystyle x} x相关的未知函数， 且 u ′ ′ {\displaystyle u''} u′′是 u {\displaystyle u} u关于 x {\displaystyle x} x的二阶导数.

P2 是一个二维问题（狄利克雷问题） 其中 Ω {\displaystyle \Omega } Ω是一个连通的开放区域 ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} (x,y)边界的平面 ∂ Ω {\displaystyle \partial \Omega } ∂Ω部分很好（例如，平滑流形或多边形），并且 u x x {\displaystyle u_{xx}} uxx​和 u y y {\displaystyle u_{yy}} uyy​表示关于的二阶导数 x {\displaystyle x} x和 y {\displaystyle y} y是的。

问题 P1 可以直接通过计算反导数来解决。但是，这种解决边值问题(BVP) 的方法仅在存在一个空间维度时才有效，并且不能推广到更高维度的问题或类似问题 u + u ′ ′ = f u + u ′ ′ = f . {\displaystyle u+u''=f}u+u''=f. u+u′′=fu+u′′=f. 出于这个原因，我们将开发 P1 的有限元方法并将其推广到 P2。

我们的解释将分两个步骤进行，这反映了使用 FEM 解决边界值问题 (BVP) 必须采取的两个基本步骤。

在这第二步之后，我们有一个大型但有限维线性问题的具体公式，其解决方案将近似解决原始 BVP。然后在计算机上实现这个有限维问题。

第一步是将 P1 和 P2 转换为等效的弱公式。

如果 u {\displaystyle u} u你求解 P1，然后求解任何平滑函数 v {\displaystyle v} v满足位移边界条件，即 v = 0 {\displaystyle v=0} v=0在 x = 0 {\displaystyle x=0} x=0和 x = 1 {\displaystyle x=1} x=1， 我们有 相反，如果 u {\displaystyle u} u你和 u ( 0 ) = u ( 1 ) = 0 {\displaystyle u(0)=u(1)=0} u(0)=u(1)=0对于每个平滑函数满足 (1) v ( x ) {\displaystyle v(x)} v(x)那么人们可能会证明这一点 u {\displaystyle u} u你将解决 P1。两次连续可微的证明更容易 u {\displaystyle u} u（中值定理），但也可以在分布意义上证明。

我们定义一个新的运算符或映射 ϕ ( u , v ) {\displaystyle \phi (u,v)} ϕ(u,v)通过使用(1) 右侧的 部分积分： 我们使用的假设是 v ( 0 ) = v ( 1 ) = 0 {\displaystyle v(0)=v(1)=0} v(0)=v(1)=0 ， v ( 0 ) = v ( 1 ) = 0 {\displaystyle v(0)=v(1)=0} v(0)=v(1)=0.

如果我们使用格林恒等式的形式进行部分整合，我们会看到，如果 u {\displaystyle u} u你求解 P2，那么我们可以定义 ϕ ( u , v ) {\displaystyle \phi (u,v)} ϕ(u,v)对于任何 v {\displaystyle v} v经过 其中 ∇ {\displaystyle \nabla } ∇表示梯度和 ⋅ {\displaystyle \cdot } ⋅表示二维平面上的点积。再一次   ⁣ ϕ {\displaystyle \,\!\phi } ϕ可以在合适的空间变成内积 H 0 1 ( Ω ) {\displaystyle H_{0}^{1}(\Omega )} H01​(Ω)的一次可微函数 Ω {\displaystyle \Omega } Ω是零 ∂ Ω {\displaystyle \partial \Omega } ∂Ω. 我们还假设 v ∈ H 0 1 ( Ω ) v ∈ H 0 1 {\displaystyle v\in H_{0}^{1}(\Omega )}v \in H_0^1 v∈H01​(Ω)v∈H01​参见Sobolev 空间）。还可以显示解决方案的存在性和唯一性。

我们可以容易地想到${\displaystyle H_{0}^{1}(0,1)}$是的绝对连续函数 ( 0 , 1 ) {\displaystyle (0,1)} (0,1)那是 0 {\displaystyle 0} 0在 x = 0 {\displaystyle x=0} x=0和 x = 1 {\displaystyle x=1} x=1（参见Sobolev 空间）。这样的函数是（弱）一次可微的，事实证明对称双线性映射  ⁣  ϕ {\displaystyle \!\,\phi } ϕ然后定义一个内积 H 0 1 ( 0 , 1 ) {\displaystyle H_{0}^{1}(0,1)} H01​(0,1)进入希尔伯特空间（详细的证明是复杂的）。另一方面，左侧 ∫ 0 1 f ( x ) v ( x ) d x {\displaystyle \int _{0}^{1}f(x)v(x)dx} ∫01​f(x)v(x)dx也是内积，这次在Lp空间 L 2 ( 0 , 1 ) {\displaystyle L^{2}(0,1)} L2(0,1). 希尔伯特空间的Riesz 表示定理的应用表明存在唯一的 u {\displaystyle u} u你求解（2），因此 P1。这个解决方案是先验的 H 0 1 ( 0 , 1 ) {\displaystyle H_{0}^{1}(0,1)} H01​(0,1)使用椭圆规律，如果 f {\displaystyle f} f是。

P1 和 P2 已准备好被离散化，这导致了一个共同的子问题 (3)。基本思想是替换无限维线性问题： 其中 V {\displaystyle V} V五是一个有限维子空间 H 0 1 {\displaystyle H_{0}^{1}} H01​ 有很多可能的选择 V {\displaystyle V} V五（一种可能性导致光谱法）。然而，对于有限元方法，我们采用 V {\displaystyle V} V五是一个分段多项式函数的空间。

我们取区间 ( 0 , 1 ) {\displaystyle (0,1)} (0,1)， 选择 n {\displaystyle n} n的值 x {\displaystyle x} x和 0 = x 0 < x 1 < ⋯ < x n < x n + 1 = 1 {\displaystyle 0=x_{0}