连续函数的分量连续性质，让我得以将数学分析研究的一元函数的性质，推广到多元函数。因此，我们有必要回顾一下一元函数的一些性质。一般地，我们有两种定义连续函数的性质。一种是利用 ϵ \epsilon ϵ- δ \delta δ语言定义，一种是利用序列极限定义。在一元函数中，这两种定义是等价的。同时，利用分量连续的性质，不难证明这两种定义在多元函数中也是等价的。因此，研究函数的连续性，一个躲不开的问题，是序列的极限。关于实数序列极限，在数学分析中有许多重要的定理，包括确界原理，阿基米德性质，单调有界收敛定理，柯西收敛定理，闭区间套定理，有限覆盖定理，收敛子序列定理等等。这些结论中，将其中一个或者两个作为原理，可以推导出余下的定理。它们共同构成实数完备性的基石，当然也是整个分析学的基石。

按照一般的设定，我们通常假设确界原理是一个公理，由此推导出其他的定理。本文介绍的是实数序列的单调有界收敛定理。

定义 我们说实数序列 { x m } \{x_m\} { xm​}是单调非减的，如果 x j ≤ x j + 1 x_j \leq x_{j+1} xj​≤xj+1​对所有的正整数 j j j成立。类似地，我们可以定义单调非增序列。

定义 我们说实数序列 { x m } \{x_m\} { xm​}有界，如果存在实数 C C C满足 ∣ x j ∣ ; C |x_j| ; C ∣xj​∣0都存在正整数 M M M满足 x − ϵ ; x M ≤ x 。 x-\epsilon ; x_M \leq x。 x−ϵ