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3 

有效数字及其运算规则

1.

有效数字的一般概念

1)

有效数字的概念

实验中测量的结果都是有误差的，那么测量值如何表达才算合理呢？如用最小分度值为

1mm

的尺子测得某物体的长度

L

＝

12.46cm

，可否写成

12.460cm

或

12.4600cm

呢？回答当然

是否定的，

因为用该米尺测量时毫米以下的一位数字

6

已经是估计的

（即有误差存在）

，

再往

下估读已无实际意义。

在大学物理实验中，

12.460

和

12.4600

这两个数值与

12.46

有着不同的

含义，即表示它们的误差是不相同的。

在实验测量和近似计算中得到的数据，其末位是有误差的，我们称这种数为有效数字。

所以，有效数字是由若干位准确数字和一位欠准确数字构成的。上面的举例

L=12.46cm

，就

是有四位有效数字。

若我们用最小分度为

0.02mm

的游标卡尺去测量该物体，

得

L

＝

12.460cm

；

用最小分度为

0.0lmm

的螺旋测微器测量该物体，

读数为

12.4602cm

，

则它们分别是五位和六

位的有效数字。

由此可见，

同一物体，

用不同精度的仪器去测量，

有效数字的位数是不同的，

精度越高，有效位数越多。

当我们用

m

或

km

作单位时，物理量

L

＝

12.46cm

表示为

L

＝

0.1246m

或

L

＝

0.0001246km

，它们是几位有效数字呢？因为单位换算并没有改变它原来测量的精度，因此

仍是四位有效数字，这里的“

0

”是确定小数点位置的，不是有效数字，也就是说，在非零数

字前的“

0

”不是有效数字。当“

0

”不是确定小数点位置，即在非零数字后面时，与其它的

字码是有同等地位的，都是有效数字。例如，

1.005cm

，是四位有效数字；

1.00m

是三位有效

数字。这里的“

0

”就不能随便的增或减。

2)

数值的科学表达方式

当一个数值很大，但有效数字又不多的情况下，如何来正确表达呢

? 

这时可以用尾数

乘以

10

的多少次幂的形式表示，即

所谓的科学记数法。例如某号钢的弹性模量为

，它有三位有效数字，显然写成

197,000,000,000

是不妥当的。同

样，一个数值很小的量，如铜在

20

11

2

1.97

10

/

E

=

×

N

m

2

/

m

N

0

C

时的线胀系数为

0.0000167

，写成

则较为简洁

明了。

5

1.67

10

−

×

3)

有效数字和相对误差的关系

有效数字的最后一位是有误差的，因此，大体上可以这样说，有效数字的位数越多相对

误差就越小，有效数字位数越少相对误差越大。一般来讲，两位有效数字对应于十分之几到

百分之几的相对误差；三位有效数字对应于百分之几到千分之几的相对误差，依次类推。因

此，在进行误差分析时，有时讲误差多大，有时讲几位有效数字，它们是密切相关的。

2.

有效数字的运算规则